Une relation probabiliste entre variables aléatoires X, Y et Z notée X ⟂ Y | Z, signifiant que conditionnellement à Z la distribution conjointe de X et Y se factorise en le produit de leurs conditionnelles : P(X,Y | Z)=P(X|Z)P(Y|Z).

Principe

L'indépendance conditionnelle exprime que toute information probabiliste liant X et Y est médiée par Z ; mathématiquement c'est une propriété de factorisation des distributions conditionnelles ou, de façon équivalente, une annulation de l'information mutuelle conditionnelle.

Démonstration

Dans un réseau bayésien où Z est une cause commune de X et Y (Z → X et Z → Y), X et Y sont indépendantes conditionnellement à Z : l'observation de Z supprime l'association statistique entre X et Y.

Mauvaise application

Supposer X ⟂ Y | Z dès que X et Y sont marginalement non corrélés, ou déduire une indépendance conditionnelle à partir de corrélations d'échantillon sans tenir compte de la confusion ou d'un conditionnement insuffisant.

Conséquence

Quand elle est valide, l'indépendance conditionnelle permet la factorisation des modèles conjoints, l'inférence modulaire (calculs locaux) et une réduction importante du nombre de paramètres nécessaires pour spécifier des distributions multivariées ou des modèles graphiques.

Inversion

La dépendance conditionnelle (¬(X ⟂ Y | Z)) signifie que même après conditionnement sur Z, X et Y conservent une association statistique, indiquant des voies résiduelles ou des facteurs de confusion cachés qui les relient.

Limite

Définie au sein du modèle probabiliste via des distributions conditionnelles ; dans les cas continus ou métriques il faut utiliser des versions de l'espérance conditionnelle et être attentif aux ensembles de mesure nulle ; l'indépendance conditionnelle n'implique pas l'indépendance causale sans hypothèses supplémentaires.

Tension sémantique

Souvent confondue avec l'indépendance marginale (X ⟂ Y) — l'indépendance marginale est plus faible et n'implique ni n'est impliquée par l'indépendance conditionnelle ; de plus une corrélation nulle n'est pas équivalente à l'indépendance conditionnelle sauf pour des distributions particulières (p. ex. gaussiennes conjointes).

Synthèse

L'indépendance conditionnelle affirme que, compte tenu de Z, X et Y n'ont plus d'interaction statistique ; c'est une propriété de factorisation qui sous-tend les modèles graphiques et simplifie l'inférence lorsqu'elle est correctement identifiée.