Eine stochastische Integraldefinition für vorhersagbare, quadratintegrierbare Prozesse gegenüber einem Semimartingal (häufig dem Brownschen Bewegung), konstruiert als Mean‑Square‑Grenzwert nichtantizipativer Riemannsummen mit Linkspunktwerten; es gilt eine Isometrie, die die zweiten Momente mit der vorhersehbaren quadratischen Variation des Integrierten verbindet.

Prinzip

Nichtantizipative (vorhersagbare) Diskretisierung plus Quadratischen‑Variations‑Korrektur: Grenzwerte von Linkspunkt‑Riemannsummen liefern eine L2‑Isometrie und einen zusätzlichen zweiten Ordnungsterm in Veränderungsformeln.

Demonstration

Für einen vorhersagbaren Prozess σ(t) mit ∫_0^T E[σ(t)^2] dt<∞ und Brownscher Bewegung W_t existiert das Itô‑Integral ∫_0^T σ(t)dW_t als L2‑Grenzwert und erfüllt E[(∫_0^T σ dW)^2]=E[∫_0^T σ^2 dt].

Fehlanwendung

Die gewöhnliche Kettenregel auf f(X_t) anzuwenden, wenn X_t durch dX_t=σ(t)dW_t beschrieben wird, und dabei den Itô‑Korrekturterm (½ f''(X_t)σ(t)^2 dt) zu ignorieren — das Itô‑Integral wie ein klassischen Riemann‑Integral zu behandeln.

Konsequenz

Itô‑Integrale sind Martingale, wenn die Integranden quadratintegrierbar und mittelwertfrei sind; sie treten in der Itô‑Formel auf, die einen zweiten Ordnungs‑Term proportional zur quadratischen Variation hinzufügt und damit Lösungen stochastischer Differentialgleichungen verändert.

Umkehrung

Stratonovich‑Integrale entstehen aus symmetrischen (Mittelpunkt) Riemannsummen und gehorchen der klassischen Kettenregel; bei Umrechnung wird die Itô‑Korrektur durch eine Driftanpassung ersetzt.

Abgrenzung

Definiert für vorhersagbare Prozesse, die gegen ein Semimartingal quadratintegrierbar sind; es ist kein pfadweises Lebesgue–Stieltjes‑Integral für beliebig raue Pfade und erfordert probabilistische Struktur (Filtration und quadratische Variation des Integrators).

Semantische Spannung

Wird oft dem Stratonovich‑Integral oder pfadweisen Integralen (Young/Rough Path) gegenübergestellt — dasselbe ∫‑Symbol verbirgt verschiedene Abtast‑Konventionen und Umformungsregeln.

Synthese

Ein probabilistisches Integral, konstruiert aus Linkspunkt‑Riemannsummen, dessen L2‑Isometrie und Verhalten bezüglich der quadratischen Variation die charakteristische Itô‑Korrektur im stochastischen Kalkül erzeugen.