Intégrale stochastique définie pour des processus prévisibles et de carré intégrable par rapport à un semi-martingale (souvent le mouvement brownien), construite comme la limite en moyenne quadratique de sommes de Riemann non anticipatives utilisant les points gauche ; elle vérifie une isométrie reliant les seconds moments à la variation quadratique prédictible de l'intégrateur.

Principe

Discrétisation non anticipative (prévisible) combinée à une correction issue de la variation quadratique : les limites des sommes de Riemann aux points gauches donnent une isométrie en L2 et un terme d'ordre deux supplémentaire dans les formules de changement de variable.

Démonstration

Pour un processus prévisible σ(t) tel que ∫_0^T E[σ(t)^2] dt<∞ et un mouvement brownien W_t, l'intégrale d'Itô ∫_0^T σ(t)dW_t existe comme limite en L2 et satisfait E[(∫_0^T σ dW)^2]=E[∫_0^T σ^2 dt].

Mauvaise application

Appliquer la règle de dérivation classique à f(X_t) où X_t satisfait dX_t=σ(t)dW_t et omettre le terme de correction d'Itô (½ f''(X_t)σ(t)^2 dt), c'est-à-dire traiter l'intégrale d'Itô comme une intégrale de Riemann ordinaire.

Conséquence

Les intégrales d'Itô forment des martingales lorsque les intégrandes sont de carré intégrable et de moyenne nulle ; elles interviennent dans la formule d'Itô qui ajoute un terme d'ordre deux proportionnel à la variation quadratique, modifiant les solutions des équations différentielles stochastiques.

Inversion

Les intégrales de Stratonovich proviennent de sommes de Riemann symétriques (point milieu) et respectent la règle de dérivation classique ; on obtient une correction de dérive différente lors de la conversion.

Limite

Définie pour des processus prévisibles intégrables au sens de la moyenne quadratique contre un semi-martingale ; ce n'est pas une intégrale de Lebesgue–Stieltjes trajectorielle pour des trajectoires très irrégulières et nécessite une structure probabiliste (filtration et variation quadratique de l'intégrateur).

Tension sémantique

Souvent opposée à l'intégrale de Stratonovich et aux intégrales trajectorielles (Young/rough path) — le même symbole ∫ masque des conventions d'échantillonnage et des règles de transformation différentes.

Synthèse

Intégrale probabiliste construite à partir de sommes de Riemann aux points gauches dont l'isométrie en L2 et le comportement vis‑à‑vis de la variation quadratique produisent la correction d'Itô caractéristique du calcul stochastique.