Integral estocástico definido para procesos predecibles y de cuadrado integrable respecto a un semimartingala (habitualmente movimiento browniano), construido como el límite en media‑cuadrática de sumas de Riemann no anticipativas usando el punto izquierdo; satisface una isometría que relaciona los segundos momentos con la variación cuadrática predecible del integrador.

Principio

Discretización no anticipativa (predecible) más corrección por variación cuadrática: los límites de sumas de Riemann con puntos izquierdos producen una isometría en L2 y un término de segundo orden en las fórmulas de cambio de variable.

Demostración

Para un proceso predecible σ(t) con ∫_0^T E[σ(t)^2] dt<∞ y movimiento browniano W_t, el integral de Itô ∫_0^T σ(t)dW_t existe como límite en L2 y cumple E[(∫_0^T σ dW)^2]=E[∫_0^T σ^2 dt].

Aplicación incorrecta

Aplicar la regla de la cadena ordinaria a f(X_t) cuando X_t satisface dX_t=σ(t)dW_t y omitir el término de corrección de Itô (½ f''(X_t)σ(t)^2 dt), es decir, tratar el integral de Itô como un integral de Riemann clásico.

Consecuencia

Los integrales de Itô son martingalas cuando los integrandos son cuadrado‑integrables y de media cero; aparecen en la fórmula de Itô que añade un término de segundo orden proporcional a la variación cuadrática, alterando las soluciones de ecuaciones diferenciales estocásticas.

Inversión

Los integrales de Stratonovich proceden de sumas de Riemann simétricas (punto medio) y satisfacen la regla de la cadena clásica; al convertir entre ellos aparece una corrección de deriva distinta.

Límite

Definido para procesos predecibles integrables en media‑cuadrática frente a un semimartingala; no es un integral trayectoria a trayectoria tipo Lebesgue–Stieltjes para trayectorias muy irregulares y requiere estructura probabilística (filtración y variación cuadrática del integrador).

Tensión semántica

Se contrasta habitualmente con los integrales de Stratonovich y con integrales trayectoria a trayectoria (Young/rough path): el mismo símbolo ∫ oculta convenciones de muestreo y reglas de transformación distintas.

Síntesis

Un integral probabilístico construido a partir de sumas de Riemann por el punto izquierdo cuya isometría en L2 y comportamiento respecto de la variación cuadrática producen la corrección de Itô distintiva del cálculo estocástico.