Ein stochastisches Integral, definiert durch symmetrische (Mittelpunkt) Riemannsummen‑Approximationen für stetige Semimartingale oder rauhe Pfade, das Integrale ergibt, welche unter der gewöhnlichen Kettenregel transformieren und mit klassischen Grenzwerten bei glatten Variablenänderungen übereinstimmen; häufig verwendet, wenn stochastische Kalküle als Grenzfälle physikalischer Glättungen betrachtet werden.

Prinzip

Symmetrische Abtastung der Inkremente (Mittelpunktregel) erzeugt ein Integral, das formal mit der klassischen Analysis verträglich ist; die Umrechnung in Itô fügt einen kompensierenden Driftterm hinzu, der der halben Ableitung des Integranden mal der quadratischen Variation entspricht.

Demonstration

Für glattes σ(t,x) und Brownsche Bewegung W_t ist das Stratonovich‑Integral ∫_0^T σ(t,X_t) ∘ dW_t der Grenzwert von Mittelpunkt‑Riemannsummen und hängt mit dem Itô‑Integral zusammen durch ∫ σ ∘ dW = ∫ σ dW + ½ ∫ ∂_xσ · d[W,X].

Fehlanwendung

Stratonovich‑Kalkül anzuwenden, ohne Glättungsannahmen zu prüfen — z.B. eine physikalisch glattgestellte Rauschfolge als Stratonovich‑Grenzwert zu behandeln, obwohl das Rauschen nicht die erforderliche zeitliche Korrelationsstruktur besitzt.

Konsequenz

Gleichungen in Stratonovich‑Form gehorchen der klassischen Analysis, was Koordinatenwechsel und geometrische Interpretationen (z.B. stochastische Differentialgeometrie) erleichtert; die Umrechnung in Itô führt zu expliziten Driftkorrekturen.

Umkehrung

Itô‑Integral verwendet nichtantizipative Linkspunktabtastung und liefert Martingaleigenschaften sowie einen expliziten quadratischen‑Variations‑Korrekturterm in der Kettenregel; Interpretation und analytische Eigenschaften unterscheiden sich deutlich.

Abgrenzung

Geeignet für Integratoren mit stetiger Semimartingal‑Struktur oder für Grenzfälle geglätteter Rauschprozesse; im Allgemeinen nicht äquivalent zu pfadweisen Integralen für sehr unregelmäßige Signale ohne gewählten Rough‑Path‑Lift.

Semantische Spannung

Spannung besteht gegenüber dem Itô‑Integral und pfadweisen Definitionen (Young/Rough Path): dieselbe SDE in unterschiedlichen Konventionen verändert die scheinbare Drift und die statistische Interpretation.

Synthese

Ein mittelpunktbasiertes stochastisches Integral, das mit gewöhnlicher Variablenrechnung verträglich ist; gegenüber Itô unterscheidet es sich durch eine halbe‑quadratische‑Variations‑Drift, die die Abtastkonvention kodiert.