Intégrale stochastique définie par des approximations par sommes de Riemann symétriques (point milieu) pour des semi‑martingales continues ou des trajectoires rugueuses, donnant des intégrales qui se transforment selon la règle de dérivation ordinaire et coïncident avec les limites classiques sous changements de variables lisses ; elle est souvent utilisée lorsque le calcul stochastique est vu comme limite d'un lissage physique.

Principe

L'échantillonnage symétrique des incréments (règle du point milieu) produit une intégrale formellement compatible avec le calcul ordinaire ; la conversion en Itô ajoute un terme de dérive compensateur égal à la moitié de la dérivée de l'intégrande multipliée par la variation quadratique de l'intégrateur.

Démonstration

Pour σ(t,x) lisse et mouvement brownien W_t, l'intégrale de Stratonovich ∫_0^T σ(t,X_t) ∘ dW_t est la limite des sommes de Riemann au point milieu et se relie à l'intégrale d'Itô par ∫ σ ∘ dW = ∫ σ dW + ½ ∫ ∂_xσ · d[W,X].

Mauvaise application

Employer le calcul de Stratonovich sans vérifier les hypothèses de régularisation — par exemple considérer comme Stratonovich la limite de bruits régularisés physiquement alors que le bruit n'a pas la structure de corrélation temporelle requise.

Conséquence

Les équations en forme de Stratonovich respectent le calcul classique, rendant plus directes les transformations de coordonnées et les interprétations géométriques (par ex. en géométrie stochastique) ; la conversion en Itô introduit des corrections explicites de dérive.

Inversion

L'intégrale d'Itô emploie un échantillonnage non anticipatif au point gauche et engendre des propriétés de martingale et une correction explicite par la variation quadratique dans la règle de changement de variable, diffèrent en interprétation et en propriétés analytiques.

Limite

Adéquate pour des intégrateurs ayant une structure de semi‑martingale continue ou pour des limites de bruits lissés ; elle n'est pas en général équivalente à des intégrales trajectorielles pour des signaux très irréguliers sans choix d'un relevé rough‑path.

Tension sémantique

Tension avec l'intégrale d'Itô et les définitions purement trajectorielles (Young, rough path) : une même EDS écrite selon deux conventions modifie la dérive apparente et l'estimation statistique.

Synthèse

Intégrale stochastique échantillonnée au point milieu, conforme au calcul usuel ; comparée à Itô elle diffère par une dérive égale à la moitié de la variation quadratique qui encode la convention d'échantillonnage.