Die Zufallszeit, zu der ein stochastischer Prozess erstmals einen spezifizierten Zustand oder eine Menge erreicht oder überschreitet; in vielen Kontexten auch Treffzeit oder First-Hitting-Time genannt.

Prinzip

Behandle die Observable als Stoppzeit, definiert durch den frühesten Index oder Zeitpunkt, an dem der Prozess die Zielmenge betritt, und analysiere deren Verteilung, Momente oder Asymptotik mit Markov-/Erneuerungs-/Kontinuumsmitteln.

Demonstration

Für einen eindimensionalen unvoreingenommenen Random Walk, der bei 0 startet, ist die Erstpassagezeit zu +1 das kleinste n≥1 mit S_n=1; ihre Verteilung ist diskret mit schweren Tails und ihr Erwartungswert ist für den einfachen symmetrischen Walk auf Z unendlich.

Fehlanwendung

Erstpassagewahrscheinlichkeiten mit stationären Heuristiken oder stationären Flussformeln zu schätzen, wenn das Problem transiente Eintrittsereignisse aus einer gegebenen Anfangsbedingung betrifft — das stimmt die Randbedingungen nicht ab und liefert falsche Wahrscheinlichkeiten.

Konsequenz

Eine korrekte Charakterisierung von Erstpassagezeiten liefert Vorhersagen für Reaktionsraten in der chemischen Kinetik, mittlere Ausfallzeiten in der Zuverlässigkeit und Schwellwerte für Entkommen oder Absorption in stochastischen Modellen.

Umkehrung

Statt der Zeit bis zum ersten Eintritt in eine Menge zu betrachten, betrachte die Aufenthaltszeit (gesamte Zeit in der Menge) oder Rückkehrzeiten (Rekurrenz); diese quantifizieren andere Aspekte des Trajektorienverhaltens.

Abgrenzung

Gilt für stochastische Prozesse mit einer wohldefinierten Filtration und messbaren Zielmengen; schließt schlecht definierte ‚First Passage‘ für Prozesse ohne rechtsstetige oder adaptierte Pfade aus, sofern die Definition nicht an Pfadregularität angepasst wird.

Semantische Spannung

Manchmal mit Treffwahrscheinlichkeiten (der Chance, jemals eine Menge zu erreichen) oder Überlebensfunktionen verwechselt; die Erstpassagezeit bezieht sich auf die Verteilung des Zeitpunkts, an dem ein Treffer auftritt, nicht nur auf dessen Eintreten.

Synthese

Erstpassagezeit = die Stoppzeit der frühesten Eintrittszeit in eine Zielmenge für einen stochastischen Prozess, zentral für transiente Ereignisstatistiken und Zeitvorhersagen.