Le temps aléatoire auquel un processus stochastique atteint ou franchit pour la première fois un état ou un ensemble spécifié ; aussi appelé temps d'atteinte dans de nombreux contextes.

Principe

Considérer l'observable comme un temps d'arrêt défini par le plus petit indice ou instant où le processus entre dans l'ensemble cible, et analyser sa loi, ses moments ou son asymptotique à l'aide d'outils de Markov, renouvellement ou continu.

Démonstration

Pour une marche aléatoire unidimensionnelle non biaisée initialement en 0, le temps de premier passage en +1 est le plus petit n≥1 tel que S_n=1 ; sa loi est discrète avec des queues lourdes et sa valeur espérée est infinie pour la marche symétrique simple sur Z.

Mauvaise application

Estimer des probabilités de premier passage en utilisant des heuristiques d'état stationnaire ou des formules de flux en régime permanent lorsque le problème concerne des événements transitoires d'entrée depuis une condition initiale spécifique : ceci désaccorde les conditions aux limites et conduit à des probabilités incorrectes.

Conséquence

Caractériser correctement les temps de premier passage permet de prédire des vitesses de réaction en cinétique chimique, le temps moyen jusqu'à défaillance en fiabilité et les seuils d'évasion ou d'absorption dans des modèles stochastiques.

Inversion

Plutôt que de se concentrer sur le temps de la première entrée dans un ensemble, considérer le temps d'occupation (temps total passé dans l'ensemble) ou les temps de retour (récurrence) ; ceux-ci quantifient d'autres aspects du comportement des trajectoires.

Limite

S'applique aux processus stochastiques munis d'une filtration et d'ensembles cibles mesurables ; exclut les « premiers passages » mal définis pour des processus sans trajectoires adéquatement à droite-continues ou adaptées, sauf si la définition est ajustée pour la régularité des trajectoires.

Tension sémantique

Parfois confondu avec les probabilités d'atteinte (la chance d'atteindre un ensemble un jour) ou les fonctions de survie ; le temps de premier passage concerne la distribution du moment où se produit l'atteinte, pas seulement son occurrence.

Synthèse

Temps de premier passage = temps d'arrêt correspondant à la première entrée dans un ensemble cible pour un processus stochastique, central aux statistiques d'événements transitoires et aux prédictions temporelles.