Eine erweiterte Koordinatendarstellung für Punkte im projektiven Raum, die eine zusätzliche Skalierungskoordinate hinzufügt, sodass projektive Äquivalenzklassen linear dargestellt werden; ein Punkt im projektiven n-Raum wird durch (n+1)-Tupel bis auf Multiplikation mit einem nichtverschwindenden Skalar repräsentiert.

Prinzip

Betten Sie den affinen n-Raum in den projektiven n-Raum ein, indem Sie eine homogene Koordinate (oft w genannt) hinzufügen und Punkte (x_1,...,x_n) mit Tupeln (w,x_1,...,x_n) modulo Multiplikation mit einem beliebigen nichtnullen Skalar identifizieren; so lassen sich projektive Abbildungen linear behandeln und Unendlichkeitspunkte darstellen.

Demonstration

Im projektiven Ebenenraum P^2 entspricht ein endlicher Punkt (x,y) den homogenen Koordinaten (1,x,y); eine Gerade, die nicht durch den Ursprung geht, wird durch die lineare homogene Gleichung aX+bY+cZ=0 beschrieben, und parallele affine Geraden schneiden sich in einem Punkt mit Z=0 (Punkt im Unendlichen).

Fehlanwendung

Homogene Koordinaten zu verwenden, ohne skalare Vielfache zu identifizieren, und (1,2,3) und (2,4,6) als verschiedene Punkte zu behandeln, wodurch Schnitte falsch gezählt oder Punkte im Unendlichen nicht korrekt repräsentiert werden.

Konsequenz

Homogene Koordinaten machen projektive Abbildungen zu linearen Abbildungen auf homogenen Tupeln, vereinheitlichen die Behandlung von endlichen und unendlichen Punkten und vereinfachen algebraisch-geometrische Rechnungen wie Schnittmultiplikitäten.

Umkehrung

Statt projektive homogene Koordinaten zu verwenden, in einer affinen Karte mit expliziten inhomogenen Koordinaten (x_i/w) arbeiten; das vermeidet die zusätzliche Komponente, verliert aber die globale Linearität und die explizite Darstellung von Punkten im Unendlichen.

Abgrenzung

Anwendbar in projektiver Geometrie und algebraischer Geometrie, wo skalare Äquivalenz zugelassen ist; ungeeignet für Situationen, die einen absoluten Maßstab verlangen (z. B. euklidische Abstände, die durch Skalierung unverändert bleiben), es sei denn, der Maßstab wird durch Normierung festgelegt.

Semantische Spannung

Wird mit baryzentrischen Koordinaten verwechselt: beide benutzen zusätzliche Koordinaten und eine projektionsähnliche Invarianz, aber baryzentrische Koordinaten sind Gewichte relativ zu einem Simplex, die zu eins summieren, während homogene Koordinaten bis auf einen beliebigen nichtnullen Skalar definiert sind und projektive Punkte repräsentieren.

Synthese

Homogene Koordinaten = (n+1)-Tupel, bis auf Multiplikation mit einem nichtnullen Skalar definiert, die Punkte des projektiven n-Raums linear repräsentieren und die algebraische Behandlung von endlichen und unendlichen Konfigurationen vereinheitlichen.