Représentation de coordonnées augmentées pour les points de l'espace projectif qui ajoute une coordonnée d'échelle de sorte que les classes d'équivalence projective soient représentées linéairement ; un point de l'espace projectif de dimension n est représenté par des (n+1)-uplets modulo multiplication par un scalaire non nul.

Principe

Plonger l'espace affine de dimension n dans l'espace projectif en adjoignant une coordonnée homogène (souvent notée w) et identifier les points (x_1,...,x_n) avec les tuples (w,x_1,...,x_n) modulo multiplication par tout scalaire non nul, ce qui permet de traiter linéairement les transformations projectives et les points à l'infini.

Démonstration

Dans le plan projectif P^2, un point fini (x,y) correspond aux coordonnées homogènes (1,x,y) ; une droite non passant par l'origine est donnée par l'équation homogène linéaire aX+bY+cZ=0, et des droites affines parallèles se rencontrent en un point avec Z=0 (point à l'infini).

Mauvaise application

Utiliser les coordonnées homogènes sans quotienter par les multiples scalaires, traitant (1,2,3) et (2,4,6) comme points distincts et comptant ainsi à tort les intersections ou ne représentant pas correctement les points à l'infini.

Conséquence

Les coordonnées homogènes transforment les applications projectives en applications linéaires sur les tuples homogènes, unifient le traitement des points finis et à l'infini, et simplifient les calculs en géométrie algébrique comme les multiplicités d'intersection.

Inversion

Au lieu d'utiliser des coordonnées homogènes projectives, travailler dans une carte affine avec des coordonnées inhomogènes explicites (x_i/w) ; cela évite la composante supplémentaire mais perd la linéarité globale et la représentation explicite des points à l'infini.

Limite

Applicable en géométrie projective et géométrie algébrique où l'équivalence scalaire est admise ; inadapté aux contextes exigeant une échelle absolue (p. ex. distances euclidiennes invariantes par mise à l'échelle) sauf si l'échelle est fixée par normalisation.

Tension sémantique

Confondue avec les coordonnées barycentriques : les deux utilisent des coordonnées supplémentaires et une invariance de type projectif, mais les coordonnées barycentriques sont des poids relatifs à un simplexe sommant à un, tandis que les coordonnées homogènes sont définies modulo tout scalaire non nul et représentent des points projectifs.

Synthèse

Coordonnées homogènes = (n+1)-uplets définis à un scalaire non nul près qui représentent linéairement les points de l'espace projectif de dimension n, unifiant le traitement algébrique des configurations finies et à l'infini.