Representación de coordenadas aumentadas para puntos en el espacio proyectivo que añade una coordenada de escala adicional de modo que las clases de equivalencia proyectiva se representen linealmente; un punto en el espacio proyectivo n se representa por (n+1)-tuplas salvo multiplicación por un escalar no nulo.

Principio

Incrustar el espacio afín n en el espacio proyectivo n añadiendo una coordenada homogénea (a menudo w) e identificar puntos (x_1,...,x_n) con tuplas (w,x_1,...,x_n) módulo multiplicación por cualquier escalar no nulo, lo que permite tratar linealmente transformaciones proyectivas y puntos en el infinito.

Demostración

En el plano proyectivo P^2, un punto finito (x,y) corresponde a coordenadas homogéneas (1,x,y); una recta que no pasa por el origen viene dada por la ecuación homogénea lineal aX+bY+cZ=0, y rectas afines paralelas se encuentran en un punto con Z=0 (punto en el infinito).

Aplicación incorrecta

Usar coordenadas homogéneas sin factorizar por los múltiplos escalares, tratando (1,2,3) y (2,4,6) como puntos distintos y así contando mal intersecciones o no representando correctamente puntos en el infinito.

Consecuencia

Las coordenadas homogéneas convierten mapas proyectivos en mapas lineales sobre tuplas homogéneas, unifican el tratamiento de puntos finitos y en el infinito y simplifican cálculos de geometría algebraica como multiplicidades de intersección.

Inversión

En lugar de coordenadas homogéneas proyectivas, trabajar en una carta afín con coordenadas inhomogéneas explícitas (x_i/w); esto evita la componente adicional pero pierde linealidad global y la representación explícita de puntos en el infinito.

Límite

Aplicable en geometría proyectiva y geometría algebraica donde se permite la equivalencia escalar; inadecuado para contextos que requieren escala absoluta (p. ej. distancias euclídeas invariantes por escala) a menos que la escala se fije por normalización.

Tensión semántica

Se confunde con coordenadas baricéntricas: ambas usan coordenadas adicionales e invariancia de tipo proyectivo, pero las baricéntricas son pesos relativos a un simplejo que suman uno, mientras que las homogéneas se definen hasta cualquier escalar no nulo y representan puntos proyectivos.

Síntesis

Coordenadas homogéneas = (n+1)-tuplas definidas hasta un escalar no nulo que representan linealmente puntos del espacio proyectivo n, unificando el tratamiento algebraico de configuraciones finitas y en el infinito.