Für einen Unterraum S eines endlichdimensionalen Vektorraums V über einem Körper F ist der Annihilator S^0 der Unterraum des Dualraums V*, der alle linearen Funktionale φ enthält mit φ(s) = 0 für jedes s ∈ S.

Prinzip

Der Annihilator ist das orthogonale Komplement von S im Dualraum V*, erfasst alle linearen Nebenbedingungen, die auf S verschwinden, und liefert exakte Zusammenhänge zwischen den Dimensionen von S und S^0.

Demonstration

Ist V = R^3 mit Basis e1,e2,e3 und S = span{e1,e2}, so ist S^0 = {φ ∈ (R^3)* : φ(e1)=φ(e2)=0} eindimensional und wird von der Funktional erzeugt, die die e3-Koordinate auswählt.

Fehlanwendung

Den Annihilator S^0 ⊂ V* mit dem orthogonalen Komplement S^⊥ ⊂ V in einem Skalarproduktraum zu verwechseln; zwar hängen sie zusammen über die Identifikation V ≅ V*, Gleichheit besteht jedoch nur nach Wahl eines Skalarprodukts.

Konsequenz

In endlicher Dimension gilt dim S + dim S^0 = dim V; Annihilatoren klassifizieren Unterräume durch ihre verschwindenden linearen Formen und dienen zur Beschreibung von Kernen induzierter Quotientenabbildungen und dualer exakter Sequenzen.

Umkehrung

Der Kern einer Menge linearer Funktionale A ⊂ V* ist der Unterraum von V, der von A annihiliert wird; dies kehrt die Annihilator-Konstruktion um und erzeugt einen primalen Unterraum aus dualen Nebenbedingungen.

Abgrenzung

Die Definition verwendet den algebraischen Dual V*; in unendlichen Dimensionen ist der algebraische Dual sehr groß und topologische Duale sind oft vorzuziehen; Eigenschaften des Annihilators hängen davon ab, ob mit algebraischem oder kontinuierlichem Dual gearbeitet wird.

Semantische Spannung

Annihilator versus orthogonales Komplement: Der Annihilator liegt im Dual und ist koordinatenfrei; das orthogonale Komplement ist durch ein Skalarprodukt auf V definiert und stimmt mit dem Annihilator nur nach einer entsprechenden Identifikation überein.

Synthese

Der Annihilator von S ist der Unterraum der linearen Funktionale, die auf S verschwinden; er kodiert die orthogonalen Nebenbedingungen zu S im Dual, erfüllt dim S + dim S^0 = dim V in endlicher Dimension und kehrt bei Übergang von dualen Mengen zu Kernen in V um.