Pour un sous-espace S d'un espace vectoriel V de dimension finie sur un corps F, l'annulateur S^0 est le sous-espace du dual V* constitué de toutes les formes linéaires φ telles que φ(s) = 0 pour tout s ∈ S.

Principe

L'annulateur est le complément orthogonal de S à l'intérieur du dual V*, capturant toutes les contraintes linéaires annulant S et fournissant une suite exacte reliant les dimensions de S et S^0.

Démonstration

Si V = R^3 avec base e1,e2,e3 et S = span{e1,e2}, alors S^0 = {φ ∈ (R^3)* : φ(e1)=φ(e2)=0} est de dimension 1, engendré par la forme qui extrait la coordonnée sur e3.

Mauvaise application

Confondre l'annulateur S^0 ⊂ V* avec le complément orthogonal S^⊥ ⊂ V dans un espace à produit scalaire ; bien que liés via l'identification V ≅ V*, l'égalité n'est vraie qu'après choix d'un produit scalaire.

Conséquence

En dimension finie dim S + dim S^0 = dim V ; les annulateurs classifient les sous-espaces par leurs formes linéaires annulatrices et servent à décrire les noyaux d'applications quotient induites et les suites exactes duales.

Inversion

Le noyau d'un ensemble de formes linéaires A ⊂ V* est le sous-espace de V annihilé par A ; ceci inverse la construction de l'annulateur en produisant un sous-espace primal à partir de contraintes duales.

Limite

La définition utilise le dual algébrique V* ; en contexte de dimension infinie le dual algébrique est très grand et les duaux topologiques sont souvent préférables ; les propriétés de l'annulateur dépendent du choix entre dual algébrique ou continu.

Tension sémantique

Annulateur versus complément orthogonal : l'annulateur vit dans le dual et est invariante de coordonnées ; le complément orthogonal est défini par un produit scalaire sur V et ne coïncide avec l'annulateur qu'après identification par un produit scalaire.

Synthèse

L'annulateur de S est le sous-espace des formes linéaires s'annulant sur S ; il encode les contraintes orthogonales à S dans le dual, vérifie dim S + dim S^0 = dim V en dimension finie et s'inverse en passant d'ensembles duaux à des noyaux dans V.