Para un subespacio S de un espacio vectorial V de dimensión finita sobre un cuerpo F, el anulador S^0 es el subespacio del dual V* formado por todos los funcionales lineales φ tales que φ(s) = 0 para todo s ∈ S.

Principio

El anulador es el complemento ortogonal de S dentro del espacio dual V*, captura todas las restricciones lineales que se anulan sobre S y produce una secuencia exacta que relaciona las dimensiones de S y S^0.

Demostración

Si V = R^3 con base e1,e2,e3 y S = span{e1,e2}, entonces S^0 = {φ ∈ (R^3)* : φ(e1)=φ(e2)=0} es unidimensional, generado por el funcional que extrae la coordenada e3.

Aplicación incorrecta

Confundir el anulador S^0 ⊂ V* con el complemento ortogonal S^⊥ ⊂ V en un espacio con producto interno; aunque están relacionados mediante la identificación V ≅ V*, la igualdad solo se da después de elegir un producto interno.

Consecuencia

En dimensión finita dim S + dim S^0 = dim V; los anuladores clasifican subespacios por sus formas lineales que se anulan y se usan para describir núcleos de mapas cociente inducidos y secuencias exactas duales.

Inversión

El núcleo de un conjunto de funcionales lineales A ⊂ V* es el subespacio de V anulado por A; eso invierte la construcción del anulador al producir un subespacio primal a partir de restricciones duales.

Límite

La definición utiliza el dual algebraico V*; en contextos de dimensión infinita el dual algebraico es muy grande y los duales topológicos son a menudo preferibles; las propiedades del anulador dependen de si se usa el dual algebraico o el continuo.

Tensión semántica

Anulador versus complemento ortogonal: el anulador vive en el dual y es independiente de coordenadas; el complemento ortogonal está definido por un producto interno en V y coincide con el anulador solo tras una identificación mediante ese producto interno.

Síntesis

El anulador de S es el subespacio de funcionales lineales que se anulan sobre S; codifica las restricciones ortogonales a S en el dual, cumple dim S + dim S^0 = dim V en dimensión finita y se invierte cuando se pasa de conjuntos duales a núcleos en V.