Ein Vektorfeld F in einem Gebiet ist konservativ, wenn es ein skalares Potential φ gibt, dessen Vektor der partiellen Ableitungen F ergibt; äquivalent sind die Kurvenintegrale von F nur von den Endpunkten und nicht vom Weg innerhalb des Gebiets abhängig.

Prinzip

Konservativität kennzeichnet exakte differentielle Felder, deren Umlauf um geschlossene Schleifen in einfach zusammenhängenden Gebieten verschwindet, was aussagt, dass lokale Differentiale zu einem globalen Potential integrierbar sind.

Demonstration

In der Elektrostatik in einem stationären Bereich ist das elektrische Feld (bei Vernachlässigung zeitlicher Änderungen) konservativ: Es ergibt sich aus der räumlichen Ableitung eines elektrostatischen Potentials und das Linienintegral zwischen zwei Punkten ist wegunabhängig.

Fehlanwendung

Aus der lokalen Bedingung rot F = 0 zu folgern, das Feld sei konservativ, ohne die Topologie des Gebiets zu prüfen: Wirbelfreiheit impliziert nicht zwangsläufig ein globales Potential auf Gebieten mit Löchern.

Konsequenz

Korrektes Erkennen liefert ein skalares Potential, wegunabhängige Arbeitsberechnungen und vereinfacht Randwertprobleme, indem Vektorgleichungen auf eine skalare Gleichung für das Potential reduziert werden.

Umkehrung

Ein nicht-konservatives (rotierendes) Feld, bei dem der Umlauf um geschlossene Schleifen nicht null sein kann und die verrichtete Arbeit vom Weg abhängt, etwa die Lorentzkraft im Magnetfeld auf eine bewegte Ladung.

Abgrenzung

Erfordert hinreichende Glattheit und Berücksichtigung der Zusammenhangsstruktur des Gebiets; in nicht einfach zusammenhängenden Regionen sind zusätzliche Tests nötig und manche wirbelfreien Felder sind global nicht konservativ.

Semantische Spannung

Konservativ versus wirbelfrei: 'wirbelfrei' bezeichnet oft das lokale Verschwinden des Rotors, während 'konservativ' die Existenz eines globalen Potentials verlangt; unter passenden topologischen Voraussetzungen stimmen beide überein.

Synthese

Ein konservatives Vektorfeld ist ein exaktes differentielles Feld, das global aus einem skalaren Potential hervorgeht, sodass Integrale nur von den Endpunkten abhängen und der Umlauf um geschlossene Schleifen im betrachteten Gebiet verschwindet.