Definición
Un campo vectorial F en una región es conservativo cuando existe un potencial escalar φ tal que F coincide con el vector de derivadas parciales de φ; equivalentemente, los integrales de línea de F dependen solo de los puntos finales y no de la trayectoria dentro de la región.
Principio
Principio
La conservatividad caracteriza campos diferenciales exactos cuya circulación alrededor de lazos cerrados se anula en dominios simplemente conexos, indicando que diferenciales locales se integran a un potencial global.
Demostración
Demostración
En electrostática en una región estacionaria, el campo eléctrico (despreciando variaciones temporales) es conservativo: viene dado por la derivada espacial de un potencial electrostático y su integral entre dos puntos es independiente de la trayectoria.
Aplicación incorrecta
Aplicación incorrecta
Concluir que un campo es conservativo a partir de la condición local rot F = 0 sin comprobar la topología del dominio: la ausencia local de rotación no implica necesariamente un potencial global en dominios con agujeros.
Consecuencia
Consecuencia
La identificación correcta conduce a un potencial escalar, cálculos de trabajo independientes de la trayectoria y simplificaciones en problemas de contorno al reducir ecuaciones vectoriales a una ecuación escalar para el potencial.
Inversión
Inversión
Un campo no conservativo (rotacional), donde la circulación en lazos cerrados puede no ser nula y el trabajo depende de la trayectoria, como la fuerza de Lorentz debida a un campo magnético sobre una carga en movimiento.
Límite
Límite
Requiere suavidad suficiente y considerar la conectividad del dominio; en regiones no simplemente conexas se necesitan pruebas adicionales y algunos campos sin rotación local pueden no ser conservativos globalmente.
Tensión semántica
Tensión semántica
Conservativo frente a irrotacional: 'irrotacional' suele denotar la nulidad local del rotacional, mientras que 'conservativo' exige la existencia de un potencial global; ambas nociones coinciden bajo hipótesis topológicas adecuadas.
Síntesis
Síntesis
Un campo vectorial conservativo es un campo diferencial exacto que proviene globalmente de un potencial escalar, de modo que los integrales dependen solo de los extremos y la circulación en lazos cerrados se anula en el dominio permitido.