Un champ vectoriel F sur une région est conservatif s'il existe un potentiel scalaire φ tel que F coïncide avec le vecteur des dérivées partielles de φ ; équivalemment, les intégrales curvilignes de F ne dépendent que des points de départ et d'arrivée et non du chemin dans la région.

Principe

La conservativité caractérise les champs différentiels exacts dont la circulation le long de boucles fermées s'annule sur les domaines simplement connexes, reflétant que des différentielles locales s'intègrent en un potentiel global.

Démonstration

En électrostatique dans une région statique, le champ électrique (en négligeant la variation temporelle) est conservatif : il est donné par la dérivée spatiale d'un potentiel électrostatique et son intégrale entre deux points est indépendante du chemin.

Mauvaise application

Conclure qu'un champ est conservatif à partir de la condition locale rotor(F) = 0 sans vérifier la topologie du domaine : l'absence de rotation locale n'implique pas nécessairement l'existence d'un potentiel global sur des domaines avec trous.

Conséquence

Une identification correcte fournit un potentiel scalaire, des calculs de travail indépendants du chemin et des simplifications des problèmes aux limites en réduisant des équations vectorielles à une équation scalaire pour le potentiel.

Inversion

Un champ non conservatif (rotationnel), où la circulation autour de boucles fermées peut être non nulle et le travail dépend du chemin, comme la force de Lorentz due à un champ magnétique sur une charge en mouvement.

Limite

Nécessite une régularité suffisante et la prise en compte de la connexité du domaine ; sur des régions non simplement connexes des tests supplémentaires sont nécessaires et certains champs sans rotation locale peuvent échouer à être conservatifs globalement.

Tension sémantique

Conservatif versus irrotationnel : 'irrotationnel' désigne souvent la nullité locale du rotor, tandis que 'conservatif' exige l'existence d'un potentiel global ; les deux coïncident sous des hypothèses topologiques appropriées.

Synthèse

Un champ vectoriel conservatif est un champ différentiel exact qui provient globalement d'un potentiel scalaire, de sorte que les intégrales ne dépendent que des extrémités et que la circulation sur boucles fermées s'annule dans le domaine considéré.