Ein Skalar, das die Empfindlichkeit der Lösung eines Problems gegenüber Störungen der Eingabe quantifiziert; für eine invertierbare Matrix A und eine gewählte Norm ist die Konditionszahl κ(A) = ||A|| · ||A^{-1}|| und misst die worst-case relative Verstärkung von Fehlern.

Prinzip

Die Konditionszahl vergleicht den maximalen mit dem minimalen Wirkungseinfluss von Störungen und kennzeichnet schlechtes Konditionieren, wenn kleine Eingabeänderungen große relative Ausgabeänderungen hervorrufen.

Demonstration

Bei der Lösung Ax = b: ist κ(A) groß, können kleine relative Störungen in b oder Rundungsfehler viel größere relative Fehler in der berechneten x zur Folge haben; bei einer Diagonal-Matrix mit Einträgen 1 und 10^{-6} ist κ ≈ 10^{6}.

Fehlanwendung

Eine kleine Konditionszahl mit garantiert kleinem Vorwärtsfehler gleichsetzen, unabhängig vom Algorithmus; die numerische Stabilität des Verfahrens und Rundungsverhalten bestimmen ebenfalls den tatsächlichen Fehler.

Konsequenz

Konditionszahlen leiten die Wahl von Präconditionern, die Regularisierungsstärke und Algorithmuswahl; sie sagen (bei stabilen Algorithmen) die erwartete Fehlerverstärkung voraus und motivieren Problemreformulierung.

Umkehrung

Der Kehrwert 1/κ misst die relative numerische Robustheit (gut konditioniert); die umgekehrte Perspektive fokussiert Probleme, bei denen kleine Eingabeunsicherheit die Ausgaben kaum verändert.

Abgrenzung

Definiert für invertierbare lineare Operatoren bezogen auf eine gewählte Norm; für singuläre oder nichtlineare Probleme verwendet man verallgemeinerte Konditionsmaße oder lokale Linearisierung; verschiedene Normen liefern unterschiedliche Werte.

Semantische Spannung

Verwandt, aber unterscheidbar von numerischer Stabilität: Die Konditionszahl ist eine Eigenschaft des mathematischen Problems, Stabilität eine Eigenschaft des Lösungsalgorithmus.

Synthese

Die Konditionszahl ist das normbasierte Skalar, das beschreibt, wie Eingabestörungen durch die Abbildung eines Problems verstärkt werden, weist bei großem κ auf schlechtes Konditionieren hin und begründet Präconditioning oder Reformulierung.