Un escalar que cuantifica la sensibilidad de la solución de un problema a perturbaciones en la entrada; para una matriz invertible A y una norma elegida, la condición matricial es κ(A) = ||A|| · ||A^{-1}|| y mide la amplificación relativa peor caso de errores.

Principio

El número de condición compara el efecto máximo con el mínimo ante perturbaciones, capturando el mal condicionamiento cuando pequeños cambios de entrada producen grandes cambios relativos en la salida.

Demostración

Al resolver Ax = b: si κ(A) es grande, una pequeña perturbación relativa en b o errores de redondeo pueden producir un error relativo mucho mayor en x calculado; para una diagonal con entradas 1 y 10^{-6}, κ ≈ 10^{6}.

Aplicación incorrecta

Igualar un número de condición pequeño con la garantía de un pequeño error directo con independencia del algoritmo; la estabilidad numérica del algoritmo y el comportamiento de redondeo también determinan el error real.

Consecuencia

Los números de condición orientan la selección de precondicionadores, la fuerza de regularización y la elección de algoritmo; predicen (salvo estabilidad algorítmica) la amplificación esperada de errores e informan la reformulación del problema.

Inversión

El recíproco 1/κ mide la robustez numérica relativa (bien condicionado); invertir la perspectiva enfatiza problemas donde la pequeña incertidumbre de entrada no cambia significativamente las salidas.

Límite

Definido para operadores lineales invertibles respecto a una norma elegida; para problemas singulares o no lineales se usan medidas de condición generalizadas o linealización local; distintas normas dan valores distintos.

Tensión semántica

Relacionado pero distinto de la estabilidad numérica: el número de condición es una propiedad del problema matemático, mientras que la estabilidad es una propiedad del algoritmo que lo resuelve.

Síntesis

El número de condición es el escalar basado en una norma que cuantifica cuánto amplifican las perturbaciones de entrada la transformación del problema, señalando mal condicionamiento para κ grande y motivando precondicionamiento o reformulación.