Un scalaire quantifiant la sensibilité de la solution d'un problème aux perturbations des données ; pour une matrice inversible A et une norme donnée, la condition κ(A) = ||A|| · ||A^{-1}|| mesure l'amplification relative pire-cas des erreurs.

Principe

Le nombre de condition compare l'effet maximal à l'effet minimal des perturbations, identifiant un mauvais conditionnement lorsqu'un petit changement d'entrée provoque un grand changement relatif de la sortie.

Démonstration

Résolution de Ax = b : si κ(A) est grand, une petite perturbation relative de b ou des erreurs d'arrondi peuvent engendrer une erreur relative beaucoup plus importante sur x calculé ; pour une matrice diagonale avec 1 et 10^{-6}, κ ≈ 10^{6}.

Mauvaise application

Assimiler un petit nombre de condition à une garantie d'erreur directe petite indépendamment de l'algorithme ; la stabilité numérique de l'algorithme et le comportement d'arrondi déterminent aussi l'erreur réelle.

Conséquence

Les nombres de condition guident le choix de préconditionneurs, l'intensité de régularisation et le choix d'algorithmes ; ils prédisent (à stabilité algorithmique près) l'amplification d'erreur et motivent la reformulation du problème.

Inversion

Le réciproque 1/κ mesure la robustesse numérique relative (bien conditionné) ; inverser la perspective met l'accent sur les problèmes où une petite incertitude d'entrée ne modifie pas significativement la sortie.

Limite

Défini pour opérateurs linéaires inversibles par rapport à une norme choisie ; pour des problèmes singuliers ou non linéaires on utilise des mesures généralisées de condition ou la linéarisation locale ; différentes normes donnent des valeurs différentes.

Tension sémantique

Lié mais distinct de la stabilité numérique : le nombre de condition est une propriété du problème mathématique, tandis que la stabilité est une propriété de l'algorithme qui le résout.

Synthèse

Le nombre de condition est le scalaire fondé sur une norme qui quantifie l'amplification des perturbations d'entrée par la transformation du problème, signalant un mauvais conditionnement pour κ grand et motivant préconditionnement ou reformulation.