Für eine lineare Abbildung L: V → W zwischen Vektorräumen ist der Nullraum die Teilmenge von V aus allen Vektoren x mit L x = 0; er wird auch Kernel oder Lösungsraum der homogenen Gleichung L x = 0 genannt.

Prinzip

Linearität impliziert, dass der Nullraum ein linearer Unterraum ist; seine Dimension (Nullität) misst die Freiheitsgrade der homogenen Lösungen und tritt in der Rang‑Nullität‑Beziehung bei endlichdimensionalen Abbildungen auf.

Demonstration

Für eine Matrix A∈R^{m×n} ist der Nullraum die Menge aller x∈R^n mit A x = 0; eine Basis lässt sich mittels Gaußscher Elimination ermitteln und liefert die parametrisierte Form aller homogenen Lösungen.

Fehlanwendung

Den Nullraum von L mit dem orthogonalen Komplement des Bildes von L* zu verwechseln: diese Räume stehen nur in Skalarprodukträumen durch den fundamentalen Satz der linearen Algebra in Beziehung und Domain/Codomain sind zu beachten.

Konsequenz

Die Beschreibung des Nullraums liefert Aussagen über Existenz und Vielfachheit linearer Systeme; seine Dimension beeinflusst Zählungen unabhängiger Bedingungen und informiert über Injektivität (trivialer Nullraum = injektiv).

Umkehrung

Das duale Konzept ist das Bild (die Reichweite) von L: während der Nullraum misst, wo L Vektoren annulliert, misst das Bild, welche Zielvektoren durch L erreichbar sind.

Abgrenzung

Der Nullraum ist nur für lineare Abbildungen definiert; nichtlineare Abbildungen haben Lösungsmenge von f(x)=0, die im Allgemeinen keine linearen Unterräume sind und keine Rang‑Nullität besitzen.

Semantische Spannung

Nullraum versus Kernel‑Terminologie: beide sind in der linearen Algebra synonym, doch 'Kernel' hat in Analysis und Wahrscheinlichkeit weitere Bedeutungen, der Kontext klärt die Bedeutung.

Synthese

Der Nullraum ist der lineare Unterraum der Eingaben, die von einer linearen Abbildung auf Null abgebildet werden; er ist zentral für Lösbarkeit, Dimensionszählungen und die Struktur linearer Systeme.