Para una aplicación lineal L: V → W entre espacios vectoriales, el espacio nulo es el subespacio de V formado por todos los vectores x con L x = 0; también se le llama kernel o espacio de soluciones homogéneas de L x = 0.

Principio

La linealidad implica que el espacio nulo es un subespacio lineal; su dimensión (nulidad) mide los grados de libertad de las soluciones homogéneas y participa en la relación rango‑nulidad en mapas de dimensión finita.

Demostración

Para una matriz A∈R^{m×n}, el espacio nulo es el conjunto de vectores x∈R^n que satisfacen A x = 0; calcular una base mediante eliminación de Gauss da la forma paramétrica de todas las soluciones homogéneas.

Aplicación incorrecta

Confundir el espacio nulo de L con el complemento ortogonal de la imagen de L*: estos espacios están relacionados por el teorema fundamental del álgebra lineal solo en espacios con producto interno y exigen atención al dominio y codominio.

Consecuencia

Caracterizar el espacio nulo aporta información sobre existencia y multiplicidad de soluciones de sistemas lineales; su dimensión interviene en el recuento de restricciones independientes e indica inyectividad (espacio nulo trivial = inyectividad).

Inversión

La noción dual es la imagen (alcance) de L: mientras el espacio nulo mide dónde L anula vectores, la imagen mide qué objetivos son alcanzables por L.

Límite

El espacio nulo está definido únicamente para aplicaciones lineales (u operadores lineales); las aplicaciones no lineales tienen conjuntos de soluciones de f(x)=0 que generalmente no son subespacios lineales y carecen de estructura rango‑nulidad.

Tensión semántica

Espacio nulo versus kernel terminológico: ambos son sinónimos en álgebra lineal, pero 'kernel' también tiene otros significados en análisis y probabilidad, por lo que el contexto desambigua.

Síntesis

El espacio nulo es el subespacio lineal de entradas que un mapa lineal envía a cero; es central para la resolubilidad, recuentos de dimensión y la estructura de sistemas lineales.