Pour une application linéaire L: V → W entre espaces vectoriels, le noyau est le sous‑espace de V formé des vecteurs x tels que L x = 0 ; on l'appelle aussi espace nul ou ensemble des solutions homogènes de L x = 0.

Principe

La linéarité implique que le noyau est un sous‑espace linéaire ; sa dimension (nullité) mesure les degrés de liberté des solutions homogènes et intervient dans la relation rang‑nullité en dimension finie.

Démonstration

Pour une matrice A∈R^{m×n}, le noyau est l'ensemble des x∈R^n vérifiant A x = 0 ; un calcul par élimination de Gauss fournit une base et la forme paramétrique de toutes les solutions homogènes.

Mauvaise application

Confondre le noyau de L avec le complément orthogonal de l'image de L* : ces espaces sont liés par le théorème fondamental de l'algèbre linéaire seulement dans des espaces à produit scalaire et en tenant compte des domaines et codomaines.

Conséquence

Caractériser le noyau donne des informations d'existence et de multiplicité pour les systèmes linéaires ; sa dimension intervient dans le comptage des contraintes indépendantes et renseigne sur l'injectivité (noyau trivial = injectivité).

Inversion

La notion duale est l'image (l'espace engendré) de L : le noyau mesure où L annule des vecteurs, l'image mesure quels vecteurs cibles sont atteignables par L.

Limite

Le noyau est défini uniquement pour des applications linéaires (ou opérateurs linéaires) ; les applications non linéaires ont des ensembles de solutions de f(x)=0 qui ne sont généralement pas des sous‑espaces linéaires et n'ont pas de structure rang‑nullité.

Tension sémantique

Noyau versus kernel : les deux termes sont synonymes en algèbre linéaire, mais « noyau/kernel » possède aussi d'autres sens en analyse et probabilité, le contexte permet de lever l'ambiguïté.

Synthèse

Le noyau est le sous‑espace linéaire des entrées envoyées sur zéro par une application linéaire ; il est central pour la résolubilité, les comptages de dimension et la structure des systèmes linéaires.