Die Fréchet-Ableitung einer Abbildung f zwischen Banachräumen an einem Punkt x ist der beschränkte lineare Operator Df(x), der f in der Nähe von x am besten approximiert, d.h. f(x+h) = f(x) + Df(x)[h] + o(‖h‖) für h→0.

Prinzip

Sie formt den Begriff der totalen linearen Approximation in normierten Räumen: die Ableitung ist die eindeutige lineare Abbildung, deren Fehlerterm klein-o gegen die Norm des Inkrements ist.

Demonstration

Für f: R → R, f(x)=x^2, ist die Fréchet-Ableitung in x die lineare Abbildung h ↦ 2x h, denn (x+h)^2 = x^2 + 2x h + h^2 und h^2 = o(|h|).

Fehlanwendung

Zu glauben, die Existenz aller Richtungsableitungen (Gâteaux) garantiere die Fréchet-Ableitung; richtungsweise Differenzierbarkeit allein impliziert keine totale (Fréchet-)Differenzierbarkeit.

Konsequenz

Existiert sie, liefert die Fréchet-Ableitung eine stabile Linearisierung, die Gültigkeit der Kettenregel in Banachräumen und Fehlerkontrolle für Newton-ähnliche Verfahren.

Umkehrung

Die Gegenposition ist die Gâteaux-Ableitung (Richtungsableitung), die die lineare Approximation nur entlang einzelner Richtungen prüft statt uniform in der Norm.

Abgrenzung

Definiert nur zwischen normierten (typischerweise Banach-) Räumen und erfordert, dass die lineare Approximation beschränkt und in allen Richtungen uniform ist; sie schließt lediglich punktweise oder schwache Ableitungen aus.

Semantische Spannung

Wird im Gebrauch oft mit schwächeren Begriffen (Gâteaux-Ableitung, distributionelle Ableitungen oder partielle punktuelle Ableitungen) verwechselt; Fréchet verlangt die uniforme Kleine des Restterms in Norm.

Synthese

Die Fréchet-Ableitung ist die eindeutige beschränkte lineare Abbildung, die die beste uniforme lineare Approximation einer Abbildung zwischen normierten Räumen liefert und starke Differenzierbarkeit sowie klassische Rechenregeln in unendlichen Dimensionen ermöglicht.