La derivada de Fréchet de una aplicación f entre espacios de Banach en un punto x es el operador lineal acotado Df(x) que mejor aproxima f cerca de x, es decir f(x+h) = f(x) + Df(x)[h] + o(‖h‖) cuando h→0.

Principio

Formaliza la idea de aproximación lineal total en espacios normados: la derivada es el mapa lineal único cuyo término de error es pequeño en comparación con la norma del incremento.

Demostración

Para f: R → R, f(x)=x^2, la derivada de Fréchet en x es el mapa lineal h ↦ 2x h porque (x+h)^2 = x^2 + 2x h + h^2 y h^2 = o(|h|).

Aplicación incorrecta

Asumir que la existencia de todas las derivadas direccionales (Gâteaux) garantiza la derivada de Fréchet; la diferenciabilidad direccional por sí sola no implica diferenciabilidad total.

Consecuencia

Cuando existe, la derivada de Fréchet proporciona linealización estable, validez de la regla de la cadena en espacios de Banach y control del error para métodos tipo Newton.

Inversión

La noción opuesta es la derivada de Gâteaux (direccional), que prueba la aproximación lineal solo a lo largo de direcciones individuales en lugar de uniformemente en norma.

Límite

Se define únicamente entre espacios normados (típicamente de Banach) y exige que la aproximación lineal sea acotada y uniforme en todas las direcciones; excluye derivadas meramente puntuales o débiles.

Tensión semántica

Con frecuencia se confunde con nociones más débiles (derivada de Gâteaux, derivadas en el sentido de distribuciones o derivadas parciales puntuales); la derivada de Fréchet exige pequeñez uniforme del término residual en norma.

Síntesis

La derivada de Fréchet es el mapa lineal acotado y único que proporciona la mejor aproximación lineal uniforme de una aplicación entre espacios normados, garantizando diferenciabilidad fuerte y las reglas clásicas del cálculo en entornos de dimensión infinita.