La dérivée de Fréchet d'une application f entre espaces de Banach en un point x est l'opérateur linéaire borné Df(x) qui approxime au mieux f près de x, c'est-à-dire f(x+h) = f(x) + Df(x)[h] + o(‖h‖) lorsque h→0.

Principe

Elle formalise l'idée d'approximation linéaire totale dans les espaces normés : la dérivée est l'application linéaire unique dont le terme d'erreur est petit devant la norme de l'incrément.

Démonstration

Pour f: R → R, f(x)=x^2, la dérivée de Fréchet en x est l'application linéaire h ↦ 2x h car (x+h)^2 = x^2 + 2x h + h^2 et h^2 = o(|h|).

Mauvaise application

Supposer que l'existence de toutes les dérivées directionnelles (Gâteaux) implique l'existence de la dérivée de Fréchet ; la différentiabilité directionnelle seule n'implique pas la différentiabilité totale.

Conséquence

Si elle existe, la dérivée de Fréchet fournit une linéarisation stable, la validité de la règle de chaîne dans les espaces de Banach et un contrôle d'erreur pour les méthodes de type Newton.

Inversion

La notion inverse est la dérivée de Gâteaux (directionnelle), qui teste l'approximation linéaire uniquement le long de directions individuelles plutôt que uniformément en norme.

Limite

Définie seulement entre espaces normés (typiquement de Banach) et exige que l'approximation linéaire soit bornée et uniforme dans toutes les directions ; elle exclut les dérivées seulement ponctuelles ou faibles.

Tension sémantique

Souvent confondue avec des notions plus faibles (dérivée de Gâteaux, dérivées distributionnelles ou dérivées partielles ponctuelles) ; la dérivée de Fréchet exige la petitesse uniforme du reste en norme.

Synthèse

La dérivée de Fréchet est l'application linéaire bornée et unique fournissant la meilleure approximation linéaire uniforme d'une application entre espaces normés, assurant une différentiabilité forte et les règles classiques du calcul en dimension infinie.