Eine Beweismethode, die die Verneinung der zu beweisenden Aussage annimmt und einen logischen Widerspruch herleitet; aus dem Widerspruch folgt die ursprüngliche Aussage (klassisch unter Verwendung des Satzes vom ausgeschlossenen Dritten oder der Doppelnegations-Elimination).

Prinzip

Nutze klassische Logikprinzipien: wenn ¬P einen Widerspruch impliziert, dann gilt ¬¬P, und in klassischer Logik ergibt das P. Die Taktik verwandelt die Unmöglichkeit der Negation in die Wahrheit der Behauptung.

Demonstration

Beweis der Irrationalität von √2: Annahme, √2 sei rational, führt zu einem arithmetischen Widerspruch in der Parität von Zähler und Nenner. Ein weiteres Beispiel: zeigen, dass es keinen kleinsten positiven Rationalen mit einer Eigenschaft gibt, indem man seine Existenz annimmt und auf Unmöglichkeit stößt.

Fehlanwendung

Widerspruch verwenden, um konstruktive Existenz zu behaupten, ohne Zeugen anzugeben (in konstruktiven Systemen ist ¬¬∃x schwächer als ∃x), oder annehmen, ein gefundener Widerspruch identifiziere immer die genau fehlerhafte Annahme statt nur die Negation auszuschließen.

Konsequenz

Ermöglicht Beweise von Negationen, Unmöglichkeitsaussagen und vielen Existenzaussagen in der klassischen Mathematik; besonders nützlich, wenn ein direkter oder konstruktiver Ansatz schwierig oder unbekannt ist.

Umkehrung

Im Gegensatz zu direkten oder konstruktiven Beweisen, die das behauptete Objekt konstruieren; Kontraposition ist verwandt, aber verschieden (beweise ¬Q⇒¬P um P⇒Q zu erhalten) und nicht identisch mit reductio-Argumenten.

Abgrenzung

Gültig in klassischer Logik; in intuitionistischer oder konstruktiver Logik kann man aus ¬P⇒⊥ oft nur ¬¬P schließen, nicht P selbst, es sei denn, zusätzliche Prinzipien werden akzeptiert. Die Methode gilt nur, wenn ein echter Widerspruch (Herleitung von A und ¬A oder einer Absurdität) erzielt wird.

Semantische Spannung

Beweis durch Widerspruch versus konstruktiver Beweis: Beide zielen auf Wahrheitsbeweis, unterscheiden sich aber in der Lieferung von Zeugen und in der Abhängigkeit vom ausgeschlossenen Dritten; versus Kontraposition: Kontraposition wandelt eine Implikation um, reductio nimmt die Negation an und sucht das Absurde.

Synthese

Der Beweis durch Widerspruch verwandelt die Unmöglichkeit der Negation in einen Beweis der Aussage durch Herleitung einer Inkonsistenz in klassischer Logik; er ist eine mächtige, teils nichtkonstruktive Technik, die direkte und konstruktive Methoden ergänzt.