Un método de demostración que asume la negación de la proposición objetivo y deriva una contradicción lógica; de la contradicción se concluye la proposición original (clásicamente usando el principio del tercero excluido o la eliminación de la doble negación).

Principio

Explotar principios de lógica clásica: si ¬P implica una contradicción, entonces ¬¬P se cumple, y en lógica clásica ello conduce a P. La táctica transforma la imposibilidad de la negación en la verdad de la afirmación.

Demostración

Demostrar la irracionalidad de √2: asumir que √2 es racional y derivar una contradicción aritmética sobre la paridad del numerador y el denominador. Otro ejemplo: probar que no existe el racional positivo más pequeño con cierta propiedad asumiendo su existencia y derivando una imposibilidad.

Aplicación incorrecta

Usar la contradicción para alegar existencia constructiva sin aportar un testigo (en contextos constructivos ¬¬∃x es más débil que ∃x), o asumir que una contradicción encontrada identifica siempre la hipótesis exacta defectuosa en lugar de solo excluir la negación.

Consecuencia

Permite pruebas de negaciones, enunciados de imposibilidad y muchos resultados de existencia en matemáticas clásicas; muy útil cuando un enfoque directo o constructivo es difícil o desconocido.

Inversión

Contrastar con pruebas directas o constructivas que construyen el objeto cuya existencia se afirma; la contraposición es una técnica relacionada pero distinta (probar ¬Q⇒¬P para deducir P⇒Q) y no es idéntica al reductio.

Límite

Válido en lógica clásica; en lógicas intuicionistas o constructivas a menudo solo se puede concluir ¬¬P a partir de ¬P⇒⊥, no P en sí salvo que se acepten principios adicionales. El método se aplica solo cuando se obtiene una contradicción genuina (derivación de A y ¬A o una absurdidad).

Tensión semántica

Prueba por contradicción versus prueba constructiva: ambas buscan establecer verdad pero difieren en proporcionar testigos y en depender del tercero excluido; versus contraposición: la contraposición transforma una implicación, mientras que el reductio asume la negación y busca lo absurdo.

Síntesis

La prueba por contradicción convierte la imposibilidad de la negación en demostración del enunciado derivando una inconsistencia bajo la lógica clásica; es una técnica poderosa, a veces no constructiva, complementaria a métodos directos y constructivos.