Une méthode de démonstration qui suppose la négation de l'énoncé à prouver et en déduit une contradiction logique ; de la contradiction on conclut l'énoncé original (classiquement en utilisant le principe du tiers exclu ou l'élimination de la double négation).

Principe

Exploiter des principes de la logique classique : si ¬P conduit à une contradiction, alors ¬¬P est vrai, et dans la logique classique ceci entraîne P. La tactique transforme l'impossibilité de la négation en vérité de l'énoncé.

Démonstration

Démonstration de l'irrationalité de √2 : supposer que √2 est rationnel et aboutir à une contradiction arithmétique concernant la parité du numérateur et du dénominateur. Autre exemple : montrer qu'il n'existe pas de plus petit rationnel positif ayant une propriété donnée en supposant son existence et en obtenant une impossibilité.

Mauvaise application

Utiliser la contradiction pour affirmer une existence constructive sans fournir de témoin (en contexte constructif ¬¬∃x est plus faible que ∃x), ou supposer qu'une contradiction trouvée identifie toujours exactement l'hypothèse fautive plutôt que d'exclure seulement la négation.

Conséquence

Permet des preuves de négations, d'impossibilité et de nombreux résultats d'existence en mathématiques classiques ; très utile lorsque la voie constructive directe est difficile ou inconnue.

Inversion

Contraster avec les preuves directes ou constructives qui construisent l'objet dont l'existence est affirmée ; la contraposition est une technique liée mais distincte (prouver ¬Q⇒¬P pour déduire P⇒Q) et n'est pas identique au reductio.

Limite

Valable en logique classique ; en logiques intuitionnistes ou constructives on ne peut souvent conclure que ¬¬P à partir de ¬P⇒⊥, et pas P lui-même sauf si des principes supplémentaires sont acceptés. La méthode s'applique seulement lorsqu'une contradiction réelle (déduction de A et ¬A ou d'une absurdité) est obtenue.

Tension sémantique

Preuve par contradiction versus preuve constructive : les deux visent à établir la vérité mais diffèrent par la fourniture de témoins et par l'appui sur le tiers exclu ; versus contraposition : la contraposition transforme une implication, tandis que le reductio suppose la négation et cherche l'absurde.

Synthèse

La preuve par contradiction transforme l'impossibilité de la négation en démonstration de l'énoncé en déduisant une inconsistance sous la logique classique ; c'est une technique puissante, parfois non constructive, qui complète les méthodes directes et constructives.