Eine Abbildung ||·|| eines Vektorraums V über R oder C in die nichtnegativen reellen Zahlen, die (1) ||v|| ≥ 0 mit ||v|| = 0 genau dann, wenn v = 0 (positive Definitheit), (2) ||αv|| = |α|·||v|| für Skalare α (absolute Homogenität) und (3) ||v+w|| ≤ ||v|| + ||w|| (Dreiecksungleichung) erfüllt.

Prinzip

Eine Norm misst die Größe eines Vektors verträglich mit der linearen Struktur; sie induziert eine Metrik d(v,w)=||v−w|| und eine Topologie, und in endlichdimensionalen Räumen sind alle Normen äquivalent.

Demonstration

Euklidische Norm auf R^n: ||x||_2 = sqrt(x_1^2 + ... + x_n^2) erfüllt alle Axiome; die Supremumsnorm auf C([0,1]) gegeben durch ||f||_∞ = sup_{t∈[0,1]} |f(t)| ist ein weiteres Beispiel.

Fehlanwendung

Eine Funktion als Norm bezeichnen, obwohl sie positive Definitheit verletzt (z. B. eine Halbnorm, die auf nichtverschwindenden Vektoren null ist) oder Homogenität nur bis auf einen Faktor ohne Betragszeichen gilt.

Konsequenz

Ermöglicht Begriffe wie Konvergenz, Stetigkeit und Beschränktheit; in Verbindung mit Vollständigkeit führt dies zu analytischen Werkzeugen (Banach-Raum-Theorie).

Umkehrung

Das Gegenstück ist die Halbnorm oder Pseudonorm, bei der die positive Definitheit weggelassen wird; solche Objekte messen Größe bis auf den Kern der nicht unterscheidbaren Vektoren.

Abgrenzung

Definiert auf Vektorräumen über R oder C im üblichen Rahmen; Generalisierungen (Normen über Moduln, erweiterte Werte, Quasi-Normen) lockern Axiome und gehören nicht zur strengen Definition.

Semantische Spannung

Spannung zwischen 'Norm' und 'Metrik': Eine Metrik kann existieren, ohne von einer Norm herzurühren (keine lineare Kompatibilität), und zwischen 'Norm' und 'Halbnorm', wobei letztere die Definitheit vermisst.

Synthese

Eine Norm ist die lineare algebraische Messung der Vektorlänge, die Homogenität und die Dreiecksungleichung erfüllt und so die metrische und topologische Struktur liefert, die für die Analyse in endlichen und unendlichen Dimensionen wesentlich ist.