Una función ||·|| de un espacio vectorial V sobre R o C a los reales no negativos que satisface (1) ||v|| ≥ 0 con ||v|| = 0 si y sólo si v = 0 (definitud positiva), (2) ||αv|| = |α|·||v|| para escalares α (homogeneidad absoluta) y (3) ||v+w|| ≤ ||v|| + ||w|| (desigualdad triangular).

Principio

Una norma cuantifica la magnitud de un vector de forma compatible con la estructura lineal; induce una métrica d(v,w)=||v−w|| y una topología, y en espacios de dimensión finita todas las normas son equivalentes.

Demostración

Norma euclidiana en R^n: ||x||_2 = sqrt(x_1^2 + ... + x_n^2) satisface todos los axiomas; la norma sup en C([0,1]) dada por ||f||_∞ = sup_{t∈[0,1]} |f(t)| es otro ejemplo.

Aplicación incorrecta

Llamar norma a una función que no verifica la definitud positiva (p. ej. una seminorma que se anula en vectores no nulos) o cuando la homogeneidad sólo se cumple hasta un factor sin valor absoluto.

Consecuencia

Proporciona nociones de convergencia, continuidad y acotación; permite el uso de herramientas analíticas (completitud, teoría de espacios de Banach) cuando se combina con la estructura lineal y la completitud.

Inversión

La noción inversa es la seminorma o pseudonorma, en la que se renuncia a la definitud positiva; tales objetos miden la magnitud hasta el núcleo de vectores indistinguibles.

Límite

Definida sobre espacios vectoriales sobre R o C en el marco habitual; generalizaciones (normas sobre módulos, normas de valor extendido, cuasi-normas) relajan uno o más axiomas y quedan fuera de la definición estricta.

Tensión semántica

Tensión entre 'norma' y 'métrica': puede existir una métrica que no provenga de una norma (sin compatibilidad lineal), y entre 'norma' y 'seminorma' donde la segunda carece de definitud.

Síntesis

Una norma es la medida algebraico-lineal de la longitud de un vector que obedece homogeneidad y desigualdad triangular, induciendo así estructura métrica y topológica esencial para el análisis y la geometría en dimensiones finitas e infinitas.