Une fonction ||·|| d'un espace vectoriel V sur R ou C vers les réels non négatifs vérifiant (1) ||v|| ≥ 0 et ||v|| = 0 si et seulement si v = 0 (définitude positive), (2) ||αv|| = |α|·||v|| pour tout scalaire α (homogénéité absolue) et (3) ||v+w|| ≤ ||v|| + ||w|| (inégalité triangulaire).

Principe

Une norme quantifie la taille d'un vecteur en accord avec la structure linéaire ; elle induit une métrique d(v,w)=||v−w|| et une topologie ; sur les espaces de dimension finie, toutes les normes sont équivalentes.

Démonstration

Norme Euclidienne sur R^n : ||x||_2 = sqrt(x_1^2 + ... + x_n^2) satisfait toutes les axiomes ; la norme du sup sur C([0,1]) définie par ||f||_∞ = sup_{t∈[0,1]} |f(t)| en est un autre exemple.

Mauvaise application

Qualifier de norme une fonction qui ne vérifie pas la définitude positive (par ex. une demi-norme qui s'annule sur des vecteurs non nuls) ou lorsque l'homogénéité n'est vraie qu'à un facteur sans valeur absolue.

Conséquence

Fournit les notions de convergence, continuité et bornitude ; permet d'utiliser des outils analytiques (complétude, théorie des espaces de Banach) lorsqu'elle est combinée à la structure linéaire et à la complétude.

Inversion

La notion inverse est la demi-norme (ou pseudonorme) où la définitude positive est abandonnée ; ces objets mesurent la taille à une constante d'échelle près et jusqu'au noyau des vecteurs indiscernables.

Limite

Définie sur des espaces vectoriels sur R ou C dans le cadre usuel ; des généralisations (normes sur modules, normes à valeurs étendues, quasi-normes) relâchent un ou plusieurs axiomes et sont hors de la définition stricte.

Tension sémantique

Tension entre « norme » et « métrique » : une métrique peut exister sans provenir d'une norme (pas de compatibilité linéaire), et entre « norme » et « demi-norme » où la seconde manque de définitude.

Synthèse

Une norme est la mesure algébro-linéaire de la longueur d'un vecteur qui respecte l'homogénéité et l'inégalité triangulaire, induisant ainsi une structure métrique et topologique essentielle à l'analyse et à la géométrie en dimension finie et infinie.