Eine Abbildung p: V → [0,∞) auf einem Vektorraum V, die positiv homogen ist (p(αv)=|α| p(v) für Skalare α) und subadditiv (p(v+w) ≤ p(v)+p(w)); im Gegensatz zu einer Norm kann p(v)=0 für nichtverschwindende v gelten.

Prinzip

Eine Halbnorm misst Größe bis auf einen Kern: ker p = {v | p(v)=0} ist ein Linearraum, und p fällt zur echten Norm auf dem Quotientenraum V/ker p ab; Familien von Halbnormen erzeugen lokal konvexe Topologien.

Demonstration

Beispiel auf C([0,1]): p(f)=|f(0)| ist eine Halbnorm — homogen und subadditiv, aber sie verschwindet für alle Funktionen, die in 0 den Wert 0 haben, also nichttrivialer Kern.

Fehlanwendung

Eine Halbnorm als Norm behandeln, ohne durch den Kern zu quotieren (z. B. p zur direkten Definition einer Metrik auf V verwenden) oder Injektivitäts-/Invertibilitätsfolgen erwarten, die Definitheit erfordern.

Konsequenz

Halbnormen erlauben die Konstruktion topologischer Strukturen in der Funktionalanalysis (lokal konvexe Räume), dienen zur Prüfung von Stetigkeit und Beschränktheit und ermöglichen Normenbildung durch Quotienten oder Kombination von Familien von Halbnormen.

Umkehrung

Das Gegenstück ist die Norm, die zusätzlich einen trivialen Kern verlangt; der Übergang von Halbnorm zu Norm erfordert meist Quotientieren oder Verstärkung der Positivität.

Abgrenzung

Gilt für Vektorräume über R oder C; eine Halbnorm muss keine Hausdorff-Topologie erzeugen, außer eine trennende Familienbedingung (Schnitt der Kerne = {0}) ist erfüllt.

Semantische Spannung

Spannung zwischen Halbnorm und beliebigen subadditiven, homogenen 'Gauges', denen lineare Eigenschaften fehlen können; auch zwischen Halbnorm und semi-inner-product-Konstruktionen, die zusätzliche Struktur erzwingen.

Synthese

Eine Halbnorm ist eine abgeschwächte Norm, die Größe misst und dabei einen linearen Kern von ununterscheidbaren Vektoren zulässt; sie ist Baustein lokal konvexer Topologien und nützlich zur Normbildung auf Quotientenräumen.