Una función p: V → [0,∞) en un espacio vectorial V que es homogénea positiva (p(αv)=|α| p(v) para escalares α) y subaditiva (p(v+w) ≤ p(v)+p(w)); a diferencia de una norma, p(v)=0 puede darse para vectores no nulos.

Principio

Una seminorma mide magnitud salvo por un núcleo: ker p = {v | p(v)=0} es un subespacio lineal, y p induce una norma en el espacio cociente V/ker p; familias de seminormas generan topologías localmente convexas.

Demostración

Ejemplo en C([0,1]): p(f)=|f(0)| es una seminorma — homogénea y subaditiva, pero se anula en todas las funciones que valen 0 en 0, formando un núcleo no trivial.

Aplicación incorrecta

Tratar una seminorma como norma sin cocientar por su núcleo (por ejemplo usar p para definir directamente una métrica en V) o esperar conclusiones de inyectividad/inversibilidad que requieren definitud.

Consecuencia

Las seminormas permiten construir topologías adecuadas al análisis funcional (espacios localmente convexos), ofrecen pruebas de continuidad y acotación, y permiten obtener normas por cociente o combinando familias de seminormas.

Inversión

La inversa es la norma, que exige además núcleo trivial; pasar de seminorma a norma suele requerir cocientar por el núcleo o reforzar la positividad.

Límite

Se aplica a espacios vectoriales sobre R o C; una seminorma no está obligada a generar una topología de Hausdorff salvo que se cumpla la condición de familia separadora (intersección de núcleos = {0}).

Tensión semántica

Tensión entre seminorma y gauges subaditivas y homogéneas arbitrarias que pueden carecer de propiedades lineales; también entre seminorma y construcciones de semi-producto interno que imponen estructura adicional.

Síntesis

Una seminorma es una norma relajada que mide tamaño permitiendo un núcleo lineal de vectores indistinguibles; es la unidad básica para topologías localmente convexas y para formar normas en cocientes.