Une fonction p: V → [0,∞) sur un espace vectoriel V qui est positivement homogène (p(αv)=|α| p(v) pour tout scalaire α) et sous-additive (p(v+w) ≤ p(v)+p(w)) ; contrairement à une norme, p(v)=0 peut se produire pour des vecteurs non nuls.

Principe

Une demi-norme mesure la taille à une indistinction près : ker p = {v | p(v)=0} est un sous-espace linéaire, et p descend en une norme sur l'espace quotient V/ker p ; des familles de demi-normes génèrent des topologies localement convexes.

Démonstration

Exemple sur C([0,1]) : p(f)=|f(0)| est une demi-norme — homogène et sous-additive mais qui s'annule sur toutes les fonctions nulles en 0, formant un noyau non trivial.

Mauvaise application

Traiter une demi-norme comme une norme sans quotienter par son noyau (par exemple utiliser p pour définir une métrique sur V directement) ou attendre des conclusions d'injectivité/inversibilité qui nécessitent la définitude.

Conséquence

Les demi-normes permettent de construire des topologies adaptées à l'analyse fonctionnelle (espaces localement convexes), offrent des tests de continuité et de bornitude, et permettent d'obtenir des normes en quotient ou en combinant des familles de demi-normes.

Inversion

L'inverse est une norme, qui exige en plus que le noyau soit trivial ; passer d'une demi-norme à une norme suppose généralement de quotenter par le noyau ou de renforcer la positivité.

Limite

S'applique aux espaces vectoriels sur R ou C ; une demi-norme n'est pas tenue de produire une topologie de Hausdorff sauf si la famille séparante condition est satisfaite (intersection des noyaux = {0}).

Tension sémantique

Tension entre demi-norme et jauges sous-additives et homogènes arbitraires qui peuvent manquer de propriétés linéaires ; aussi entre demi-norme et constructions de semi-produit scalaire qui imposent une structure supplémentaire.

Synthèse

Une demi-norme est une norme relâchée qui mesure la taille en admettant un noyau linéaire de vecteurs indiscernables ; elle constitue le bloc de base des topologies localement convexes et permet de former des normes sur des quotients.