Für eine quadratische Matrix oder einen Endomorphismus eines endlichdimensionalen Vektorraums ist die Spur die Summe der Diagonaleinträge (in jeder Matrizenrepräsentation) und gleich der Summe der Eigenwerte, gezählt mit algebraischer Vielfachheit. Sie ist unter Similarität invariant.

Prinzip

Die Spur ist eine lineare, similaritätsinvariante skalare Zusammenfassung eines Endomorphismus, darstellbar als Kontraktion mit der Einheitsmatrix und in algebraisch geeigneten Fällen gleich der Summe der Eigenwerte.

Demonstration

Für A = [[2,1],[0,3]] ist tr(A)=2+3=5; falls A die Eigenwerte 2 und 3 hat (mit algebraischer Vielfachheit), ist deren Summe ebenfalls 5.

Fehlanwendung

Die Diagonalsumme einer nicht-quadratischen oder unendlichen Matrix als Spur zu bezeichnen, ohne Kontextprüfung, oder zu behaupten, die Eigenwert-Identität gelte über beliebigen Ringen oder für nicht trace‑class Operatoren.

Konsequenz

Richtig angewandt ergibt die Spur ein basisunabhängiges Invariante, das in charakteristischen Polynomen und in der Ableitung des Determinanten am Einsoperator erscheint und in der Physik als Erwartung linearer Observablen dient; sie vereinfacht die Klassifikation von Operatoren bis auf Similarität.

Umkehrung

Im Gegensatz zum Determinanten: die Spur addiert Eigenwerte, der Determinant multipliziert sie; eine verschwundene Spur impliziert nicht notwendigerweise Nilpotenz.

Abgrenzung

Eindeutig definiert für endlichdimensionale quadratische Matrizen und trace‑class Operatoren; in unendlichen Dimensionen existiert die Spur nur für geeignete Klassen von Operatoren, und Aussagen über Eigenwerte können über Ringe versagen.

Semantische Spannung

Steht im Wettbewerb zur 'partiellen Spur' (Reduktion in Tensorprodukträumen) und zur rein koordinatenabhängigen Diagonalsumme — diese ändert sich, falls Similaritätsinvarianz übersehen wird.

Synthese

Die Spur ist der basisunabhängige Summenwert der Diagonaleinträge in endlicher Dimension; sie fasst Endomorphismen durch ein lineares Invariant zusammen, das in passenden algebraischen Kontexten der Summe der Eigenwerte entspricht und außerhalb dieses Rahmens mit Sorgfalt zu behandeln ist.