Para una matriz cuadrada o un endomorfismo de un espacio vectorial de dimensión finita, la traza es la suma de las entradas diagonales (en cualquier representación matricial) y coincide con la suma de los valores propios contados según su multiplicidad algebraica. Es invariante por similitud.

Principio

La traza es un escalar lineal, invariante por similitud, que resume un endomorfismo; se obtiene por contracción con la identidad y, en contextos algebraicamente regulares, equivale a la suma de los valores propios.

Demostración

Para A = [[2,1],[0,3]] se tiene tr(A)=2+3=5; si A tiene valores propios 2 y 3 (con su multiplicidad algebraica), su suma también es 5.

Aplicación incorrecta

Considerar la suma diagonal de una matriz no cuadrada o infinita como traza sin verificar el contexto, o asumir que la identidad suma‑de‑valores‑propios vale en anillos arbitrarios o para operadores no trace‑class.

Consecuencia

Usada correctamente, proporciona un invariante independiente de la base que aparece en polinomios característicos, en la derivada del determinante en la identidad, y en física como esperanza de observables lineales; facilita la clasificación de operadores por similitud.

Inversión

Contrasta con el determinante: la traza suma valores propios, el determinante los multiplica; tener traza cero no implica nilpotencia salvo condiciones adicionales.

Límite

Definida claramente para matrices cuadradas de dimensión finita y operadores de clase traza; en espacios de dimensión infinita la traza existe solo para operadores de clase traza, y sobre anillos generales las afirmaciones sobre valores propios pueden fallar.

Tensión semántica

Compite con la 'traza parcial' (operación de reducción en espacios producto tensorial) y con la simple suma diagonal dependiente de la base — ésta cambia si se ignora la invariancia por similitud.

Síntesis

La traza es el escalar independiente de la base obtenido sumando las entradas diagonales en dimensiones finitas; organiza los endomorfismos mediante un invariante lineal igual a la suma de valores propios en contextos apropiados, pero debe restringirse o generalizarse con cuidado fuera de la dimensión finita.