Pour une matrice carrée ou un endomorphisme d'un espace vectoriel de dimension finie, la trace est la somme des éléments diagonaux (par rapport à toute représentation matricielle) et coïncide avec la somme des valeurs propres comptées selon leur multiplicité algébrique. Elle est invariante par similitude.

Principe

La trace est un scalaire linéaire et invariant par similitude qui résume un endomorphisme ; elle s'obtient par contraction avec l'identité et, dans des cadres algébriquement réguliers, égale la somme des valeurs propres.

Démonstration

Pour A = [[2,1],[0,3]] on a tr(A)=2+3=5 ; si A possède les valeurs propres 2 et 3 (avec leur multiplicité algébrique), leur somme vaut aussi 5.

Mauvaise application

Prendre la somme des éléments diagonaux d'une matrice non carrée ou infinie pour la qualifier de trace sans vérifier le contexte, ou supposer que l'identité somme‑des‑valeurs‑propres vaut sur des anneaux arbitraires ou pour des opérateurs non trace‑class.

Conséquence

Bien utilisée, elle fournit un invariant indépendant de la base intervenant dans le polynôme caractéristique, dans la dérivée du déterminant en l'identité, et en physique comme espérance d'observables linéaires ; elle simplifie la classification des opérateurs par similitude.

Inversion

En contraste avec le déterminant : la trace additionne les valeurs propres tandis que le déterminant les multiplie ; poser trace nulle n'implique pas la nilpotence sauf sous conditions supplémentaires.

Limite

Définie de façon évidente pour les matrices carrées de dimension finie et les opérateurs trace‑class ; pour les opérateurs en dimension infinie la trace n'existe que sous conditions, et sur des anneaux arbitraires les énoncés sur les valeurs propres peuvent échouer.

Tension sémantique

Concurrence avec la « trace partielle » (réduction sur un produit tensoriel) et avec la simple somme diagonale dépendante de la base — cette dernière change si l'invariance par similitude est négligée.

Synthèse

La trace est le scalaire indépendant de la base obtenu en sommant les éléments diagonaux en dimension finie ; elle organise les endomorphismes par un invariant linéaire égal à la somme des valeurs propres dans les cadres appropriés, mais exige des précautions hors de la dimension finie.