Nullität ist die Dimension des Kerns (Nullraum) einer linearen Abbildung oder Matrix: die Anzahl unabhängiger Lösungen der homogenen Gleichung A x = 0.

Prinzip

Nullität misst die verlorenen Freiheitsgrade einer linearen Abbildung; zusammen mit dem Rang gilt Rang + Nullität = Dimension der Domäne und teilt diese in Kern und ein komplementäres injektiv abgebildetes Subraum.

Demonstration

Für C = [[1,2],[2,4]] auf R^2 ist der Kern eindimensional (Vektoren proportional zu [-2,1]), also Nullität = 1 und Rang = 1.

Fehlanwendung

Nullität mit der Dimension des orthogonalen Komplements zu verwechseln oder anzunehmen, Nullität sei unter beliebigen Basisfeldänderungen invariant ohne Prüfung des algebraischen Kontexts (z. B. Moduln über Ringen).

Konsequenz

Nullität gibt an, wie viele freie Parameter in der allgemeinen Lösung homogener linearer Systeme auftreten, und signalisiert Nicht‑Injektivität; hohe Nullität bedeutet viele unabhängige Richtungen, die auf Null kollabieren.

Umkehrung

Die Gegenperspektive ist Injektivität und voller Rang: Nullität null bedeutet Injektivität; Nullität zu minimieren entspricht der Maximierung erhaltener unabhängiger Informationen.

Abgrenzung

Klar definiert in endlichdimensionalen Vektorräumen; in unendlichen Dimensionen kann die Kern‑Dimension unendlich sein oder kardinalarithmetische Betrachtung erfordern; über Moduln verhält sich die Kern‑Dimension nicht immer wie in Vektorräumen.

Semantische Spannung

Nahe, aber verschieden von der geometrischen Vielfachheit eines Eigenwerts: Nullität ist die geometrische Vielfachheit des Eigenwerts null, bei nicht‑null Eigenwerten ist Vorsicht beim Sprechen über Vielfachheiten geboten.

Synthese

Nullität ist die Anzahl unabhängiger Richtungen, die eine lineare Abbildung annihiliert; zusammen mit dem Rang liefert sie eine vollständige Aufteilung der Domänendimension und bestimmt die Parametrisierung homogener Lösungsmengen.