La nullité est la dimension du noyau (espace nul) d'une application linéaire ou d'une matrice : le nombre de solutions indépendantes de l'équation homogène A x = 0.

Principe

La nullité mesure les degrés de liberté perdus par une application linéaire ; combinée au rang via rang + nullité = dimension du domaine, elle partitionne le domaine en noyau et en un sous‑espace complémentaire injectivement mappé.

Démonstration

Pour C = [[1,2],[2,4]] agissant sur R^2, le noyau est de dimension un (vecteurs proportionnels à [-2,1]), donc nullité = 1 et rang = 1.

Mauvaise application

Confondre la nullité avec la dimension d'un complément orthogonal ou supposer que la nullité est invariante sous changement arbitraire de corps de base sans vérifier le contexte algébrique (par exemple sur des modules sur des anneaux).

Conséquence

La nullité indique combien de paramètres libres apparaissent dans la solution générale des systèmes homogènes et signale la non‑injectivité ; une nullité élevée signifie de nombreuses directions indépendantes écrasées en zéro.

Inversion

La perspective inverse est l'injectivité et le rang plein : nullité nulle signifie que l'application est injective ; minimiser la nullité revient à maximiser l'information indépendante préservée par l'application.

Limite

Définie clairement en dimension finie ; en dimension infinie la dimension du noyau peut être infinie ou nécessiter l'arithmétique des cardinaux ; sur des modules la dimension du noyau peut ne pas se comporter comme en espaces vectoriels.

Tension sémantique

Proche mais distincte de la multiplicité géométrique d'une valeur propre : la nullité est la multiplicité géométrique de la valeur propre zéro, mais parler de multiplicités pour des valeurs propres non nulles requiert de la prudence.

Synthèse

La nullité est le nombre de directions indépendantes annihilées par une transformation linéaire ; associée au rang elle fournit une partition complète de la dimension du domaine et contrôle la paramétrisation des espaces de solutions homogènes.