La nulidad es la dimensión del núcleo (espacio nulo) de una aplicación lineal o matriz: el número de soluciones independientes de la ecuación homogénea A x = 0.

Principio

La nulidad mide los grados de libertad perdidos por una aplicación lineal; combinada con el rango mediante rango + nulidad = dimensión del dominio, divide el dominio en núcleo y un subespacio complementario que se mapea inyectivamente.

Demostración

Para C = [[1,2],[2,4]] actuando en R^2, el núcleo es de dimensión uno (vectores proporcionales a [-2,1]), por lo que nulidad = 1 y rango = 1.

Aplicación incorrecta

Confundir nulidad con la dimensión de un complemento ortogonal o asumir que la nulidad es invariante ante cambios arbitrarios de cuerpo sin verificar el contexto algebraico (por ejemplo, módulos sobre anillos).

Consecuencia

La nulidad indica cuántos parámetros libres aparecen en la solución general de sistemas homogéneos y señala la no inyectividad; alta nulidad significa muchas direcciones independientes colapsadas a cero.

Inversión

La perspectiva inversa es la inyectividad y el rango completo: nulidad cero significa que la aplicación es inyectiva; minimizar la nulidad equivale a maximizar la información independiente preservada por la aplicación.

Límite

Definida claramente en espacios vectoriales de dimensión finita; en dimensiones infinitas la dimensión del núcleo puede ser infinita o requerir aritmética de cardinales; sobre módulos la dimensión del núcleo puede no comportarse como en espacios vectoriales.

Tensión semántica

Cercana pero distinta de la multiplicidad geométrica de un valor propio: la nulidad es la multiplicidad geométrica del valor propio cero, pero hablar de multiplicidades para valores propios no nulos exige precaución.

Síntesis

La nulidad es el recuento de direcciones independientes que una transformación lineal aniquila; junto con el rango proporciona una partición completa de la dimensión del dominio y controla la parametrización de los espacios de soluciones homogéneas.