Die Kardinalzahl einer Basis eines Vektorraums; die minimale Anzahl unabhängiger Koordinaten, die erforderlich sind, um jeden Vektor in diesem Raum darzustellen (endliche oder unendliche Kardinalzahl).

Prinzip

Die Dimension eines Vektorraums ist die Größe jeder seiner Basen; Basen sind maximal linear unabhängige und minimal erzeugende Mengen, und alle Basen haben dieselbe Kardinalität, sofern definiert.

Demonstration

R^3 hat Dimension 3, weil die Standardbasis {(1,0,0),(0,1,0),(0,0,1)} aus drei linear unabhängigen Vektoren besteht, die R^3 aufspannen. Ein unendliches Beispiel ist der Raum der Polynome mit abzählbarer Basis {1,x,x^2,...}.

Fehlanwendung

Die Anzahl der Koordinaten in einer bestimmten Darstellung als Dimension bezeichnen, wenn die Darstellung redundant ist (nicht-minimale erzeugende Menge), oder handfeste Annahmen aus dem endlichen Fall ungeprüft auf unendlich-dimensionale Räume übertragen (Hamel-Basen, Axiom der Wahl).

Konsequenz

Die Dimension bestimmt Freiheitsgrade, die Gestalt linearer Abbildungen (Matrixgrößen im endlichen Fall) und viele Invarianten (Rang–Nullität, Klassifikation endlicher Vektorräume).

Umkehrung

Statt unabhängige Richtungen zu zählen, betrachtet man die Kodimension: die Zahl unabhängiger linearer Bedingungen, die einen Raum zu einem Unterraum reduzieren; man kehrt damit Freiheitsgrade in Zwänge um.

Abgrenzung

Gilt für Vektorräume über einem Körper mit definierter Linearunabhängigkeit. Schließt andere 'Dimension'-Begriffe aus, etwa topologische, Hausdorff- oder fraktale Dimensionen; bei Unendlichkeiten kann die Existenz einer Hamel-Basis vom Axiom der Wahl abhängen.

Semantische Spannung

Die algebraische (Basis-)Dimension kann im Widerspruch zu topologischen oder maßt heoretischen Dimensionen stehen (z. B. ein unendlich-dimensionaler Hilbertraum gegenüber seiner topologischen Dimension); das Wort bezeichnet in unterschiedlichen Feldern verschiedene Invarianten.

Synthese

Dimension im algebraischen Sinn ist die invariante Kardinalität jeder Basis eines Vektorraums und fasst zusammen, wie viele unabhängige Parameter zur Beschreibung eines Vektors nötig sind, mit Vorbehalten bei unendlichen Räumen.