Definición
El número cardinal de una base de un espacio vectorial; el número mínimo de coordenadas independientes necesarias para representar cualquier vector en ese espacio (cardinal finito o infinito).
Principio
Principio
La dimensión de un espacio vectorial es el tamaño de cualquiera de sus bases; las bases son conjuntos maximalmente linealmente independientes y minimalmente generadores, y todas las bases tienen la misma cardinalidad cuando están definidas.
Demostración
Demostración
R^3 tiene dimensión 3 porque la base estándar {(1,0,0),(0,1,0),(0,0,1)} está formada por tres vectores linealmente independientes que generan R^3. Ejemplo infinito: el espacio de polinomios, con base numerable {1,x,x^2,...}.
Aplicación incorrecta
Aplicación incorrecta
Llamar dimensión al número de coordenadas en una representación particular cuando ésta es redundante (conjunto generador no mínimo), o aplicar intuiciones de dimensión finita a espacios infinitamente dimensionales sin atender a bases de Hamel y al Axioma de Elección.
Consecuencia
Consecuencia
La dimensión determina los grados de libertad, la forma de las aplicaciones lineales (tamaños de matrices en el caso finito) y muchos invariantes (teorema rango–nucleo, clasificación de espacios vectoriales de dimensión finita).
Inversión
Inversión
En lugar de contar direcciones independientes, considerar la codimensión: el número de restricciones lineales independientes que reducen un espacio a un subespacio; se invierten grados de libertad por restricciones.
Límite
Límite
Se aplica a espacios vectoriales sobre un cuerpo con noción de independencia lineal. Excluye otras nociones de 'dimensión' como la topológica, de Hausdorff o fractal; en casos infinitos la existencia de una base de Hamel puede depender del Axioma de Elección.
Tensión semántica
Tensión semántica
La dimensión algebraica (por base) puede estar en tensión con nociones topológicas o métricas de dimensión (por ejemplo, un espacio de Hilbert infinito frente a su dimensión topológica); la misma palabra designa invariantes distintos según el campo.
Síntesis
Síntesis
La dimensión, en sentido algebraico, es la cardinalidad invariante de cualquier base de un espacio vectorial y resume cuántos parámetros independientes se necesitan para especificar un vector, con reservas en escenarios infinitos.