Le nombre cardinal d'une base d'un espace vectoriel ; le nombre minimal de coordonnées indépendantes nécessaires pour représenter tout vecteur de cet espace (cardinal fini ou infini).

Principe

La dimension d'un espace vectoriel est la taille de n'importe quelle de ses bases ; une base est un ensemble maximal de vecteurs linéairement indépendants et minimal pour engendrer l'espace, et toutes les bases ont la même cardinalité quand elles existent.

Démonstration

R^3 a dimension 3 parce que la base standard {(1,0,0),(0,1,0),(0,0,1)} contient trois vecteurs linéairement indépendants qui engendrent R^3. Exemple de dimension infinie : l'espace des polynômes, qui admet une base dénombrable {1,x,x^2,...}.

Mauvaise application

Appeler « dimension » le nombre de coordonnées d'une représentation particulière quand cette représentation est redondante (ensemble engendrant non minimal) ou appliquer l'intuition finie aux espaces infiniment dimensionnels en négligeant les bases de Hamel et l'usage de l'axiome du choix.

Conséquence

La dimension détermine les degrés de liberté, la forme des applications linéaires (tailles de matrices dans le cas fini), et des invariants comme le théorème du rang–nullité et la classification des espaces vectoriels de dimension finie.

Inversion

Au lieu de compter les directions indépendantes, considérer la codimension : le nombre de contraintes linéaires indépendantes qui réduisent un espace à un sous-espace ; on inverse ainsi degrés de liberté et contraintes.

Limite

S'applique aux espaces vectoriels sur un corps avec la notion de dépendance linéaire. Exclut d'autres notions de « dimension » comme la dimension topologique, de Hausdorff ou fractale ; dans le cas infini, l'existence d'une base de Hamel peut dépendre de l'axiome du choix.

Tension sémantique

La dimension algébrique (par base) peut entrer en tension avec les notions topologiques ou métriques de dimension (par exemple un espace de Hilbert infini vs sa dimension topologique) ; le même terme désigne des invariants distincts selon les domaines.

Synthèse

La dimension, au sens algébrique, est la cardinalité invariante de toute base d'un espace vectoriel et résume combien de paramètres indépendants sont nécessaires pour spécifier un vecteur, avec des précautions pour les cas infinis.