Der Erwartungswert der quadrierten Abweichung einer Zufallsvariablen von ihrem Mittelwert; ein Streuungsmaß mit Einheiten gleich dem Quadrat der Variableneinheiten.

Prinzip

Varianz = E[(X - E[X])^2]; sie zerfällt durch das Gesetz der totalen Varianz und ist für unabhängige Variablen additiv (Var(X+Y)=Var(X)+Var(Y) bei Unabhängigkeit).

Demonstration

Für einen fairen sechsseitigen Würfel X ∈ {1,...,6} ist E[X]=3,5 und Var(X)=E[X^2]-(E[X])^2 = 35/12 ≈ 2,9167. Für eine Bernoulli(p)-Variable gilt Var(X)=p(1-p).

Fehlanwendung

Varianz als direkt mit typischer Abweichung vergleichbar ansehen, ohne quadrierte Einheiten zu berücksichtigen, Stichprobenvarianzformeln falsch anwenden (biassed vs. unbiased), oder Additivität bei abhängigen Variablen fälschlich annehmen.

Konsequenz

Varianz quantifiziert Streuung auf eine Weise, die gut mit linearen Operationen und zentralen Approximationen zusammenarbeitet; sie ist Grundlage für Konfidenzintervalle, Hypothesentests und Risikomaße, verlangt aber Vorsicht bei nicht-gauss'schen Schwänzen.

Umkehrung

Statt Varianz die Präzision (Inverse der Varianz) als Konzentrationsmaß verwenden oder mittlere absolute Abweichung als Alternative ohne Quadrierung der Abweichungen wählen.

Abgrenzung

Definiert, wenn der zweite Moment existiert (E[X^2]<∞). Bei schwer geschwänzten Verteilungen mit unendlichem zweiten Moment ist die Varianz undefiniert oder unendlich; Varianz ist unempfindlich gegenüber Vorzeichen der Abweichungen und anfällig für Ausreißer.

Semantische Spannung

Varianz ist ein quadratisches, rechnerisch günstiges Streumaß, steht aber manchmal im Widerspruch zur intuitiven Vorstellung der 'typischen Abweichung' — hierfür ist oft die Standardabweichung oder MAD geeigneter.

Synthese

Varianz ist das quadratische Streumaß, gebildet aus dem Mittel der quadrierten Abweichungen; es ist algebraisch handhabbar und zentral in der Wahrscheinlichkeitsrechnung, doch Interpretation und Anwendbarkeit hängen von Einheiten und Momenteigenschaften ab.