El valor esperado del cuadrado de la desviación de una variable aleatoria respecto a su media; una medida de dispersión con unidades iguales al cuadrado de las unidades de la variable.

Principio

Varianza = E[(X - E[X])^2]; se descompone por la ley total de la varianza y es aditiva para variables independientes (Var(X+Y)=Var(X)+Var(Y) si son independientes).

Demostración

Para un dado justo de seis caras, X ∈ {1,...,6}, E[X]=3,5 y Var(X)=E[X^2]-(E[X])^2 = 35/12 ≈ 2,9167. Para una Bernoulli(p), Var(X)=p(1-p).

Aplicación incorrecta

Tratar la varianza como comparable directamente a la desviación típica sin tener en cuenta las unidades al cuadrado, usar incorrectamente fórmulas de varianza muestral (confundir sesgadas y no sesgadas), o aplicar aditividad cuando las variables son dependientes.

Consecuencia

La varianza cuantifica la dispersión de forma que se integra bien con operaciones lineales y aproximaciones centrales; sustenta intervalos de confianza, pruebas de hipótesis y medidas de riesgo, pero requiere precaución ante colas pesadas.

Inversión

Considerar la precisión (inversa de la varianza) como medida de concentración, o utilizar la desviación media absoluta como alternativa que mide la desviación típica sin elevar al cuadrado.

Límite

Está definida cuando existe el segundo momento (E[X^2]<∞). Para distribuciones con colas pesadas e infinito segundo momento, la varianza es indefinida o infinita; además ignora el signo de la desviación y es sensible a valores atípicos.

Tensión semántica

La varianza es una medida cuadrática conveniente matemáticamente pero puede entrar en tensión con la noción intuitiva de 'error típico' — la desviación estándar o la MAD pueden reflejar mejor la magnitud típica en ciertos contextos.

Síntesis

La varianza es la medida cuadrática de dispersión obtenida promediando las desviaciones al cuadrado; es algebraicamente útil y central en probabilidades, pero su interpretación exige atención a las unidades y a la existencia de momentos.