La valeur espérée du carré de l'écart d'une variable aléatoire à sa moyenne ; une mesure de dispersion dont les unités sont le carré des unités de la variable.

Principe

Variance = E[(X - E[X])^2] ; elle se décompose par la loi de la variance totale et est additive pour des variables indépendantes (Var(X+Y)=Var(X)+Var(Y) si indépendantes).

Démonstration

Pour un dé équilibré à six faces, X ∈ {1,...,6}, E[X]=3,5 et Var(X)=E[X^2]-(E[X])^2 = 35/12 ≈ 2,9167. Pour une variable de Bernoulli(p), Var(X)=p(1-p).

Mauvaise application

Considérer la variance comme directement comparable à la dispersion typique sans tenir compte des unités au carré, utiliser incorrectement les formules de variance d'échantillon (confondre estimateurs biaisés et non biaisés), ou appliquer l'additivité lorsque les variables sont dépendantes.

Conséquence

La variance quantifie la dispersion d'une façon bien adaptée aux opérations linéaires et aux approximations centrales ; elle sous-tend intervalles de confiance, tests d'hypothèse et mesures de risque, mais il faut se méfier des queues non gaussiennes.

Inversion

Considérer la précision (inverse de la variance) comme mesure de concentration, ou utiliser la déviation absolue moyenne comme alternative mesurant l'écart typique sans mise au carré.

Limite

Définie lorsque le deuxième moment existe (E[X^2]<∞). Pour les lois à queues lourdes avec moment d'ordre deux infini, la variance est non définie ou infinie ; la variance ignore le signe des écarts et est sensible aux valeurs aberrantes.

Tension sémantique

La variance est une mesure de dispersion quadratique mathématiquement commode mais peut être en tension avec la notion intuitive d'« erreur typique » — l'écart-type ou la déviation médiane absolue peuvent mieux refléter la taille typique des écarts dans certains contextes.

Synthèse

La variance est la mesure quadratique de dispersion obtenue en moyennant les écarts au carré ; utile algébriquement et essentielle en probabilités linéaires, mais son interprétation impose de considérer les unités et l'existence des moments.