Regeln in der Aussagenlogik und Mengenlehre, die besagen, dass die Negation einer Konjunktion der Disjunktion der Negationen entspricht, und die Negation einer Disjunktion der Konjunktion der Negationen (¬(A∧B) ⇔ ¬A∨¬B und ¬(A∨B) ⇔ ¬A∧¬B), mit entsprechenden Komplementäquivalenzen für Mengen.

Prinzip

Die Negation verteilt sich über Konjunktion und Disjunktion, indem sie deren Rollen vertauscht; in der Booleschen Algebra ist dies eine Instanz der Dualität unter Komplementbildung.

Demonstration

Die Wahrheitstafeln zeigen, dass ¬(A∧B) und (¬A∨¬B) unter allen Belegungen dieselben Wahrheitswerte haben. In der Mengenlehre gilt (A ∩ B)^c = A^c ∪ B^c und (A ∪ B)^c = A^c ∩ B^c relativ zu einer festgelegten Universum-Menge.

Fehlanwendung

Die Reichweite der Negation in natürlichsprachlichen Aussagen falsch setzen (z. B. 'nicht beide' vs. 'weder ... noch') oder klassische De-Morgan-Äquivalenzen in Logiken ohne klassische Negation anwenden (intuitionistische Logik validiert nicht immer beide Äquivalenzen ohne Doppelnegationsargumente).

Konsequenz

Ermöglichen mechanische Umformungen logischer Formeln und Mengenausdrücke, die Vereinfachung von Bedingungen und die Ableitung dualer Aussagen; wesentlich in der digitalen Logik und bei Beweisumformungen.

Umkehrung

Die invertierten Aussagen sind die Ursprungsformen: Negiert man die rechten Formen, erhält man die linken zurück (zeigt die zweiseitige Äquivalenz); konzeptionell ergibt das Vertauschen von ∧ und ∨ bei gleichzeitiger Negation den logischen Dual.

Abgrenzung

Gültig in klassischer Aussagen- und Prädikatenlogik sowie in Booleschen Algebren; Vorsicht in nichtklassischen Logiken (intuitionistisch, parakonsistent), wo die Äquivalenzen fehlen oder qualifiziert werden müssen. In der Mengenlehre benötigen Komplemente ein definiertes Universum.

Semantische Spannung

Spannung zwischen formaler symbolischer Manipulation (wo De Morgan eine algebraische Identität ist) und natürlichsprachlicher Negation (wo pragmatische Reichweite und implizite Quantoren Bedeutung verändern); auch Spannung beim Übergang zu konstruktiven Logiken.

Synthese

Die De-Morgan-Gesetze sind Dualitätsregeln, die negierte Konjunktionen in Disjunktionen von Negationen und umgekehrt umwandeln und so eine syntaktische sowie semantische Brücke zum Transformieren logischer und mengenbezogener Ausdrücke bieten, wobei auf Reichweite und logischen Rahmen zu achten ist.