Reglas en lógica proposicional y teoría de conjuntos que establecen que la negación de una conjunción es la disyunción de las negaciones y que la negación de una disyunción es la conjunción de las negaciones (¬(A∧B) ⇔ ¬A∨¬B y ¬(A∨B) ⇔ ¬A∧¬B), con análogos de complementos de conjuntos.

Principio

La negación se distribuye sobre conjunción y disyunción intercambiando sus roles; en álgebra booleana esto es una instancia de dualidad bajo complementación.

Demostración

Las tablas de verdad muestran que ¬(A∧B) y (¬A∨¬B) tienen los mismos valores de verdad para todas las combinaciones de A,B. En conjuntos, (A ∩ B)^c = A^c ∪ B^c y (A ∪ B)^c = A^c ∩ B^c respecto a un conjunto universal fijado.

Aplicación incorrecta

Colocar incorrectamente el alcance de la negación en enunciados del lenguaje natural (p. ej., 'no ambos' frente a 'ninguno de los dos') o aplicar las equivalencias de De Morgan en lógicas sin negación clásica (la lógica intuicionista no valida ambas equivalencias sin razonamiento por doble negación).

Consecuencia

Permiten reescritura mecánica de fórmulas lógicas y expresiones de conjuntos, simplificación de condiciones y derivación de enunciados duales; esenciales en diseño lógico digital y transformaciones de pruebas.

Inversión

Los enunciados invertidos son los originales: al negar las formas de la derecha se recuperan las de la izquierda (muestra la equivalencia bidireccional); conceptualmente, intercambiar ∧ y ∨ mientras se niega produce el dual lógico.

Límite

Válidas en lógica proposicional y de predicados clásica y en álgebras booleanas; se requiere precaución en lógicas no clásicas (intuicionista, paraconsistente) donde las equivalencias pueden fallar o necesitar matices. En teoría de conjuntos los complementos requieren un conjunto universal especificado.

Tensión semántica

Tensión entre la manipulación simbólica formal (donde De Morgan es una identidad algebraica) y la negación en lenguaje natural (donde el alcance y cuantificadores implícitos pueden cambiar el sentido); también tensión al pasar a lógicas constructivas.

Síntesis

Las leyes de De Morgan son reglas de dualidad que convierten conjunciones negadas en disyunciones de negaciones y viceversa, proporcionando un puente sintáctico y semántico para transformar expresiones lógicas y de conjuntos, avisando sobre la necesidad de atender al alcance y al marco lógico.