Règles en logique propositionnelle et en théorie des ensembles affirmant que la négation d'une conjonction est la disjonction des négations, et la négation d'une disjonction est la conjonction des négations (¬(A∧B) ⇔ ¬A∨¬B et ¬(A∨B) ⇔ ¬A∧¬B), avec des analogues en termes de compléments d'ensembles.

Principe

La négation se distribue sur la conjonction et la disjonction en échangeant leurs rôles ; dans l'algèbre de Boole il s'agit d'une instance de dualité sous la complémentation.

Démonstration

La table de vérité montre que ¬(A∧B) et (¬A∨¬B) partagent les mêmes valeurs de vérité pour toutes A,B. En théorie des ensembles, (A ∩ B)^c = A^c ∪ B^c et (A ∪ B)^c = A^c ∩ B^c relativement à un univers fixé.

Mauvaise application

Mal placer la portée d'une négation en langage naturel (par ex. « pas les deux » vs « ni l'un ni l'autre ») ou appliquer les équivalences de De Morgan dans des logiques sans négation classique (la logique intuitionniste ne valide pas toujours ces équivalences sans raisonnement par double négation).

Conséquence

Permettent de réécrire mécaniquement des formules logiques et des expressions d'ensembles, de simplifier des conditions et de dériver des énoncés duaux ; essentielles en logique numérique et en transformations de preuves.

Inversion

Les énoncés inverses sont les originaux : appliquer la négation aux formes de droite restitue les formes de gauche (montre l'équivalence bilatérale) ; conceptuellement, permuter ∧ et ∨ tout en niant donne le dual logique.

Limite

Valides en logique propositionnelle et prédicative classique et dans les algèbres de Boole ; prudence en logiques non classiques (intuitionniste, paraconsistante) où les équivalences peuvent échouer ou nécessiter des qualifications. En théorie des ensembles, les compléments exigent un univers spécifié.

Tension sémantique

Tension entre la manipulation symbolique formelle (où De Morgan est une identité algébrique) et la négation en langue naturelle (où la portée et des quantificateurs implicites modifient le sens) ; tension également lors du passage à des logiques constructives.

Synthèse

Les lois de De Morgan sont des règles de dualité convertissant conjonctions négatives en disjonctions de négations et réciproquement, fournissant un pont syntaxique et sémantique pour transformer expressions logiques et d'ensembles, tout en signalant la nécessité d'attirer l'attention sur la portée et le cadre logique.